【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為、，其短軸的兩個端點分別為，，若；是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使得直線，的斜率乘積為定值，若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在；定點或

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，即可求出橢圓的方程；

（2）假設(shè)滿足條件的定點存在，設(shè)為，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，得到關(guān)系，再由，利用關(guān)系，化簡為關(guān)系式，利用其為定值則不含項，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，求解即可.

（1）因為是邊長為2的等邊三角形，

所以，解得，，所以

所以橢圓的方程為.

（2）依題意直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，

，

由整理得

當(dāng)時，得，

設(shè)存在定點滿足題意，則

.

由得，，

當(dāng)時，當(dāng)時；

故存在滿足題意的定點或.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)有唯一的極值點；

（2）設(shè)為正整數(shù)，若不等式在內(nèi)恒成立，求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)100名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：

潛伏期（單位：天）

人數(shù)

85

205

310

250

130

15

5

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期天

潛伏期天

總計

50歲以上（含50歲）

100

50歲以下

55

總計

200

附：

0.05

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

，其中．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點在圓上，直線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若（為坐標(biāo)原點），求的值；

（3）設(shè)點關(guān)于軸對稱點為（與點不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線：與曲線：交于，兩點，且的周長為．

（Ⅰ）求曲線的方程．

（Ⅱ）設(shè)過曲線焦點的直線與曲線交于，兩點，記直線，的斜率分別為，．求證：為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知分別是離心率為的橢圓的左、右頂點，是橢圓的右焦點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知動直線與橢圓有且只有一個公共點.

①若交軸于點，求點橫坐標(biāo)的取值范圍；

②設(shè)直線交直線于點，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于，兩點.

（1）若過點，證明：；

（2）若，點在曲線上，，的中點均在拋物線上，求面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知為拋物線上一點，斜率分別為，的直線PA，PB分別交拋物線于點A，B（不與點P重合）.

（1）證明：直線AB的斜率為定值；

（2）若△ABP的內(nèi)切圓半徑為.

（i）求△ABP的周長（用k表示）；

（ii）求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點為正方形邊上異于點，的動點，將沿翻折成，在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）

A.存在點和某一翻折位置，使得

B.存在點和某一翻折位置，使得平面

C.存在點和某一翻折位置，使得直線與平面所成的角為45°

D.存在點和某一翻折位置，使得二面角的大小為60°

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案