【題目】已知曲線:與曲線:交于,兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求曲線的方程.
(Ⅱ)設(shè)過(guò)曲線焦點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),記直線,的斜率分別為,.求證:為定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(Ⅰ)確定圓的圓心和半徑,根據(jù)周長(zhǎng)可求得,由圓心到直線距離可確定弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程求得后即可得到結(jié)果;
(Ⅱ)設(shè)直線,,,將方程與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用,代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得定值.
(Ⅰ)曲線方程可整理為:,則圓心,半徑,
又曲線,關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則軸,
的周長(zhǎng)為,,
到的距離,故弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為,
,解得:,拋物線的方程為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,由于直線不與軸重合,可設(shè):,
設(shè),,
由,消去整理得:,,,
,
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn),點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與以為直徑的圓的公共點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在處的切線的方程為,求此時(shí)的最值;
(2)若對(duì)任意,,不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為,圓經(jīng)過(guò)橢圓的短軸端點(diǎn).
求橢圓的方程;
過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于,和,四點(diǎn),求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=0,(n∈N*),前n項(xiàng)和為Sn (參考數(shù)據(jù): ln2≈0.693,ln3≈1.099),則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是( )
A.是單調(diào)遞增數(shù)列,是單調(diào)遞減數(shù)列B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為、,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若;是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率乘積為定值,若存在,求出定點(diǎn),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒,計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室,每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi),每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣,設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列,已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬(wàn)元,第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬(wàn)元,并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1700萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要( )
A.3233萬(wàn)元B.4706萬(wàn)元C.4709萬(wàn)元D.4808萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,以為圓心過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的圓與直線相切于,且滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,問(wèn)內(nèi)切圓面積是否有最大值?若有,求出最大值;若沒(méi)有,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn),的動(dòng)點(diǎn),將沿翻折成,在翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是( )
A.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得
B.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得平面
C.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得直線與平面所成的角為45°
D.存在點(diǎn)和某一翻折位置,使得二面角的大小為60°
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