【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)在圓上，直線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值；

（3）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），且直線與軸交于點(diǎn)，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為1.

【解析】

（1）由圓，令，求得或，進(jìn)而求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）把直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，列出方程，求得的值，即可得到結(jié)論；

（3）由橢圓的對稱性可得，得出MN的直線方程，求得與軸的交點(diǎn)所以，得到，利用三角形的面積公式和基本不等式，即可求解.

（1）由題意，圓，令，解得或，

即圓與軸交點(diǎn)分別為，，所以或，

又由，因?yàn)?/span>，所以或，

又因?yàn)?/span>，所以，故橢圓方程是.

（2）設(shè)，，

聯(lián)立方程組，整理得，

所以，，則，

因?yàn)?/span>，可得，所以，

代入可得，解得，

所以，即為定值.

（3）由橢圓的對稱性可得，，

所以直線的方程為，

令，可得，

所以，得到.

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，所以的面積最大值為1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于曲線，有下述四個(gè)結(jié)論：

①曲線C是軸對稱圖形；

②曲線C關(guān)于點(diǎn)中心對稱；

③曲線C上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值是；

④曲線C與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積不大于，

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了了解一種新產(chǎn)品的銷售情況，對該產(chǎn)品100天的銷售數(shù)量做調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下圖所示：

銷售數(shù)量（件）

48

49

52

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

天數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

經(jīng)計(jì)算，上述樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差.

（Ⅰ）求表格中字母的值；

（Ⅱ）為評判該公司的銷售水平，用頻率近似估計(jì)概率，從上述100天的銷售業(yè)績中隨機(jī)抽取1天，記當(dāng)天的銷售數(shù)量為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（表示相應(yīng)事件的概率）；

①；②；③.

評判規(guī)則是：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則銷售水平為優(yōu)秀；僅滿足其中兩個(gè)，則等級為良好；若僅滿足其中一個(gè)，則等級為合格；若全部不滿足，則等級為不合格.試判斷該公司的銷售水平；

（Ⅲ）從上述100天的樣本中隨機(jī)抽取2個(gè)，記樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期．一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：

潛伏期（單位：天）

人數(shù)

85

205

310

250

130

15

5

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期天

潛伏期天

總計(jì)

50歲以上（含50歲）

100

50歲以下

55

總計(jì)

200

（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立．為了深入硏究，該硏究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，設(shè)潛伏期超過6天的人數(shù)為，則的期望是多少？

附：

0.05

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，圓經(jīng)過橢圓的短軸端點(diǎn)．

求橢圓的方程；

過橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于，和，四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明:．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，若；是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率乘積為定值，若存在，求出定點(diǎn)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，且點(diǎn)處取得極值．

（Ⅰ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則關(guān)于函數(shù)以下說法正確的是（ ）

A. 最大值為1，圖象關(guān)于直線對稱B. 在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)

C. 在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D. 周期為，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

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