【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為,直線與拋物線交于,兩點(diǎn).
(1)若過(guò)點(diǎn),證明:;
(2)若,點(diǎn)在曲線上,,的中點(diǎn)均在拋物線上,求面積的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)易知,設(shè),,由題意可知,直線的斜率存在,故設(shè)其方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理求出的表達(dá)式,代入直線方程得到的表達(dá)式,利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式求出即可得證;
(2)由題意知,拋物線的方程為,設(shè),,,則,的中點(diǎn)分別為,,由,的中點(diǎn)均在拋物線上,得到方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,利用韋達(dá)定理和判別式,結(jié)合三角形的面積公式和點(diǎn)在曲線上即可求解.
(1)證明:易知,設(shè),,
由題意可知,直線的斜率存在,故設(shè)其方程為,
由,得,所以,
因?yàn)?/span>,
所以,
而,故.
(2)因?yàn)?/span>,所以拋物線的方程為,
設(shè),,,則,的中點(diǎn)分別為,,因?yàn)?/span>,的中點(diǎn)均在拋物線上,
所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
則,,,即,
所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則
,
即,
因?yàn)?/span>,所以的面積為,即,
由,得,
所以,
因?yàn)?/span>,所以,
所以面積的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,若將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則下列命題正確的是( ).
A.函數(shù)的解析式為
B.函數(shù)的解析式為
C.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線
D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為,圓經(jīng)過(guò)橢圓的短軸端點(diǎn).
求橢圓的方程;
過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于,和,四點(diǎn),求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為、,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若;是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線,的斜率乘積為定值,若存在,求出定點(diǎn),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒,計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室,每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi),每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣,設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列,已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬(wàn)元,第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬(wàn)元,并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1700萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要( )
A.3233萬(wàn)元B.4706萬(wàn)元C.4709萬(wàn)元D.4808萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且點(diǎn)處取得極值.
(Ⅰ)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求的取值范圍;
(Ⅱ)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,以為圓心過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的圓與直線相切于,且滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,問(wèn)內(nèi)切圓面積是否有最大值?若有,求出最大值;若沒(méi)有,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的值
(2)函數(shù),當(dāng)時(shí),在處取得最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知為橢圓的上頂點(diǎn),P為橢圓E上異于上、下頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為時(shí),.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M為x軸的正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi),且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點(diǎn)M,求AP的長(zhǎng).
②若,是否存在點(diǎn)N,滿足,且AN的中點(diǎn)恰好在橢圓E上?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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