【題目】已知函數(shù)(a為常數(shù))的圖象與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為

(1)求的值及函數(shù)的極值；

(2)證明：當(dāng)時，

【答案】（1）當(dāng)x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝2－ln4，f(x)無極大值．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）首先求點的坐標(biāo)，再根據(jù)，解得的值，然后求的值，以及兩側(cè)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù) ，根據(jù)（1）的結(jié)果可知函數(shù)單調(diào)遞增，即證.

試題解析：　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.

當(dāng)x<ln2時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)無極大值．

(2)令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，

故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1>0，因此，當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

求實數(shù)m，n的值；

若函數(shù)的定義域為判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；是否存在實數(shù)t，使得關(guān)于x的不等式在上有解？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

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【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC的四個面中，直角三角形的個數(shù)有（　�。�

A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個

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【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．

（Ⅰ）求函數(shù)在R上的解析式；

（Ⅱ）若，函數(shù)，是否存在實數(shù)m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，，則____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.

（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+2n﹣1．
（1）求證：數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列；
（2）記bn=an+（1﹣λ）n，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 若T3為數(shù)列{Tn}中的最小項，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面五邊形是軸對稱圖形(如圖1)，BC為對稱軸，AD⊥CD，AD=AB=1，，將此五邊形沿BC折疊，使平面ABCD⊥平面BCEF，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題.

（1）證明：AF∥平面DEC；

（2）求二面角的余弦值.

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