Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），則 解得﹣1＜x＜1．

故所求定義域為{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：f（x）為奇函數(shù)

由（1）知f（x）的定義域為{x|﹣1＜x＜1}，

且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

故f（x）為奇函數(shù)

（3）解：因為當a＞1時，f（x）在定義域{x|﹣1＜x＜1}內是增函數(shù)，

所以 ．

解得0＜x＜1．

所以使f（x）＞0的x的取值范圍是{x|0＜x＜1}

【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的性質可知真數(shù)大于零，進而確定x的范圍，求得函數(shù)的定義域．（2）利用函數(shù)解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），進而判斷出函數(shù)為奇函數(shù)．（3）根據(jù)當a＞1時，f（x）在定義域{x|﹣1＜x＜1}內是增函數(shù)，可推斷出f（x）＞0，進而可知 進而求得x的范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的奇偶性和對數(shù)的運算性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤．