如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,ADCD1,AA1AB2E為棱AA1的中點.

(1)證明B1C1CE;

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;

(3)設(shè)點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.

 

(1)見解析 (2) (3)

【解析】向量法

如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2)C(1,0,1),B1(0,2,2)C1(1,2,1),E(0,1,0)

(1)證明:易得(1,0,-1),(1,1,-1),于是·0,所以B1C1CE.

(2) (1,-2,-1)

設(shè)平面B1CE的法向量m(x,y,z),

消去x,得y2z0,不妨令z1,可得一個法向量為m(3,-2,1)

(1)B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故(1,0,-1)為平面CEC1的一個法向量.

于是cosm,〉==-,從而sinm,〉=,所以二面角B1CEC1的正弦值為.

(3) (0,1,0),(1,1,1),設(shè)λ(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有(λλ1,λ).可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量.

設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則

sin θ|cos,|,

于是,解得λ,所以AM.

綜合法

(1)證明 因為側(cè)棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1?平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.經(jīng)計算可得B1E,B1C1EC1,從而B1E2B1E,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1C1E?平面CC1E,CC1C1EC1,所以B1C1平面CC1E,又CE?平面CC1E,故B1C1CE.

(2)解 過B1B1GCE于點G,連接C1G.(1),B1C1CE,故CE平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CEC1E,CC12,可得C1G.

RtB1C1G中,B1G,所以sin B1GC1,即二面角B1-CE-C1的正弦值為.

(3)解 連接D1E,過點MMHED1于點H,可得MH平面ADD1A1,連接AH,AM,則MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角.設(shè)AMx,從而在RtAHM中,有MHx,AHx.RtC1D1E中,C1D11,ED1,得EHMHx.

AEH中,AEH135°AE1,

AH2AE2EH22AE·EHcos 135°,得x21x2x,整理得5x22x60,解得x.

所以線段AM的長為.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知非零向量ab,c滿足abc0,向量ab的夾角為60°,且|a||b|1,則向量ac的夾角為(  )

A30° B60° C120° D150°

 

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已知點F是雙曲線1(a>0b>0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若ABE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________

 

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已知橢圓E1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于AB兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為(  )

A. 1 B. 1 C. 1 D.1

 

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直線axby1與圓x2y21相交于A,B兩點(其中ab是實數(shù)),且AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點),則點P(a,b)與點(0,1)之間距離的最小值為(  )

A0 B. C.1 D.1

 

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已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,()232;·()0;向量與向量的夾角是60°;正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號是________

 

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,點O是對角線ACBD的交點,MPD的中點,AB2,BAD60°.

(1)求證:OM平面PAB

(2)求證:平面PBD平面PAC;

(3)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積等于時,求PB的長.

 

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某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是(  )

A4 B. C. D6

 

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如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA12,ABBC1,動點PQ分別在線段C1D,AC上,則線段PQ長度的最小值是(  )

A. B. C. D.

 

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