Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是PD的中點(diǎn)，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求證：OM∥平面PAB；

(2)求證：平面PBD⊥平面PAC；

(3)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積等于時(shí)，求PB的長．

 

Answer 1

【解析】(1)證明∵在△PBD中，O，M分別是BD，PD的中點(diǎn)，∴OM是△PBD的中位線，∴OM∥PB.

∵OM?平面PAB，PB?平面PAB，∴OM∥平面PAB.

(2)證明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.

(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，

∴S菱形ABCD＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.

∵四棱錐P-ABCD的高為PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.在Rt△PAB中，PB＝ ＝＝.