Question

已知，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設直線與、均相切，切點分別為（）、（），且，求證：.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ)見解析.

試題分析：(Ⅰ)先構造函數，利用函數的單調性與導數的關系，求得函數的最小值是，找到關系；再構造函數，利用函數的單調性與導數的關系，求得函數的最小值是，找到關系.從而證得“”；(Ⅲ)先求出以及，根據導數與切線方程的關系，由斜率不變得到，再根據兩點間的斜率公式得到.首先由指數函數的性質可得，那么，然后由得到，解得.
試題解析：（Ⅰ）令，.          1分
令，解得.
當時，；當，時.
∴當時，，
∴.                                            3分
令，.           4分
令，解得.
當時，；當時，.
∴當時，，
∴，                                    6分
∴.                                  7分
（Ⅲ），，切點的坐標分別為，可得方程組：
         11分
∵，
∴，∴，
∴.                            12分
由②得，，∴，         13分
∵，∴，∴，即，
∴.                    14分