Question

如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點是棱的中點．

（Ⅰ）證明：平面AA₁C₁C平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析  （Ⅱ）二面角的余弦值為．   

本試題主要是考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解的綜合運用。
（1）根據直三棱柱的性質，可以建立空間直角坐標系，然后利用向量垂直得到面面垂直的證明。
（2）運用平面的法向量和數量積的性質，可以得到兩個半平面的法向量的向量的夾角，因此得到求解。
解：解法一：（Ⅰ）∵，∴．
∵三棱柱為直三棱柱，∴
∵，∴平面 
∵平面，∴，而，則．……4分
在中，，
在中，，
∴．同理可得，．
（或：在與中，∵，
∴～，∴，．）
∵，∴．即．
∵，∴平面．           ……6分
（Ⅱ）如圖，過作的垂線，垂足為，在平面內作交于點，連，則為二面角的平面角．   ……8分
在中，，．∵～，∴，則，．在中，求得．
在中，由余弦定理，得．
故二面角的余弦值為．        ……12分

解法二：∵，∴．
∵三棱柱為直三棱柱，∴
∵，∴平面．    ……2分
以為坐標原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．          ……4分
（Ⅰ），，，
∵，，
∴，，即，．
∵，∴平面． ……6分

（Ⅱ）設是平面的法向量，由得
取，則是平面的一個法向量．     ……8分
又是平面的一個法向量，       ……10分
且與二面角的大小相等．
由．
故二面角的余弦值為．