【題目】為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校舉行詩(shī)詞大賽．經(jīng)過(guò)層層選拔，最終甲乙兩人進(jìn)入決賽，爭(zhēng)奪冠亞軍．決賽規(guī)則如下：①比賽共設(shè)有五道題；②比賽前兩人答題的先后順序通過(guò)抽簽決定后，雙方輪流答題，每次回答一道，；③若答對(duì)，自己得1分；若答錯(cuò)，則對(duì)方得1分；④先得 3 分者獲勝．已知甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為 和 ，且每次答題的結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若乙先答題，求甲3：0獲勝的概率；
（Ⅱ）若甲先答題，記乙所得分?jǐn)?shù)為 X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX．

【答案】解：（I）設(shè)“乙先答題，甲3：0獲勝”為事件A，只能是答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)2道題，甲答對(duì)1道題． 則P1= = ．
（II）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3．
① X=0時(shí)，則答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)1道題，甲答對(duì)2道題，此時(shí)甲得3分，乙得0分，則P（X=0）= ×（1﹣ ）× = ．
②X=1，則答完4道題結(jié)束，此時(shí)共有一下3種情況：甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙錯(cuò)；甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)；
甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò)．
∴P（X=1）=（1﹣ ）×（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+ ×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）+ × × ×（1﹣ ）= ．
③X=2，則第5次必須是甲答對(duì)，此時(shí)共有一下6種情況：甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)；甲對(duì)乙對(duì)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)；甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì)；甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò)甲對(duì)；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)．
∴P（X=2）= ×4+ + = ．
④X=3，P（X=3）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=2）=1﹣ ﹣ ﹣ = ．
其分布列為：

X

0

1

2

3

P

E（X）=0+ +2× + =
【解析】（I）設(shè)“乙先答題，甲3：0獲勝”為事件A，只能是答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)2道題，甲答對(duì)1道題． 即可得出．（II）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3．
①X=0時(shí)，則答完3道題結(jié)束，此時(shí)乙答錯(cuò)1道題，甲答對(duì)2道題，此時(shí)甲得3分，乙得0分，即可得出．②X=1，則答完4道題結(jié)束，此時(shí)共有一下3種情況：甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙錯(cuò)；甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)；甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò)．③X=2，則第5次必須是甲答對(duì)，此時(shí)共有一下6種情況：甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)；甲對(duì)乙對(duì)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)；甲對(duì)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì)；甲錯(cuò)乙對(duì)甲對(duì)乙錯(cuò)甲對(duì)；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)乙對(duì)甲對(duì)；甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲錯(cuò)乙錯(cuò)甲對(duì)．④X=3，P（X=3）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=2）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l：y=﹣x+3與橢圓C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（2，1）．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若直線l′：y=﹣x+b交C于A，B兩點(diǎn)，且PA⊥PB，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=4 ρsin（θ+ ）﹣4．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；
（Ⅱ）若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求 的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR||OS|是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】工人在懸掛如圖所示的一個(gè)正六邊形裝飾品時(shí)，需要固定六個(gè)位置上的螺絲，首先隨意擰緊一個(gè)螺絲，接著擰緊距離它最遠(yuǎn)的第二個(gè)螺絲，再隨意擰緊第三個(gè)螺絲，接著擰緊距離第三個(gè)螺絲最遠(yuǎn)的第四個(gè)螺絲，第五個(gè)和第六個(gè)以此類(lèi)推，則不同的固定方式有種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將函數(shù) 的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若 ，求sinB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將函數(shù)y=cos（2x+ ）的圖象向左平移 個(gè)單位后，得到f（x）的圖象，則（ ）
A.f（x）=﹣sin2x
B.f（x）的圖象關(guān)于x=﹣ 對(duì)稱(chēng)
C.f（ ）=
D.f（x）的圖象關(guān)于（ ，0）對(duì)稱(chēng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）的橢圓 過(guò)點(diǎn) ，且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱(chēng)的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）圓 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB上任一點(diǎn)，直線F1R交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若AB為圓P1的直徑，且直線F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某校組織的“共筑中國(guó)夢(mèng)”競(jìng)賽活動(dòng)中，甲、乙兩班各有6名選手參賽，在第一輪筆試環(huán)節(jié)中，評(píng)委將他們的筆試成績(jī)作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成如圖所示的莖葉圖，為了增加結(jié)果的神秘感，主持人故意沒(méi)有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績(jī)，只是告訴大家，如果某位選手的成績(jī)高于90分（不含90分），則直接“晉級(jí)” （Ⅰ）求乙班總分超過(guò)甲班的概率
（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位選手的得分是90分，乙班第六位選手的得分是97分
①請(qǐng)你從平均分光和方差的角度來(lái)分析兩個(gè)班的選手的情況；
②主持人從甲乙兩班所有選手成績(jī)中分別隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽取到“晉級(jí)”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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