Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2=4 ρsin（θ+ ）﹣4．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；
（Ⅱ）若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C2的極坐標方程為ρ2=4 ρsin（θ+ ）﹣4=4ρsinθ+4ρcosθ﹣4， ∴由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，ρcosθ=x，
得到曲線C2的直角坐標方程為：x2+y2=4y+4x﹣4，
整理，得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，
∴曲線C2表示以（2，2）為圓心，以2為半徑的圓．
（Ⅱ）∵曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)得曲線C1的直角坐標方程為tanαx﹣y﹣tanα+1=0，
當曲線C1過圓心C2（2，2）時，tanα=1，α=45°，
此時|AB|取最大值2r=2 ．
圓心C2（2，2）到曲線C1：tanαx﹣y﹣tanα+1=0的距離為：
d= = ，
|AB|=2× =2 =2 ，
∴當tanα=0，即α=0時，|AB|取最小值2
【解析】（Ⅰ）∵曲線C2的極坐標方程轉(zhuǎn)化為ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ﹣4，由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，ρcosθ=x，得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，由此得到曲線C2表示以（2，2）為圓心，以2為半徑的圓．（Ⅱ）消去參數(shù)得曲線C1的直角坐標方程為tanαx﹣y﹣tanα+1=0，求出圓心C2（2，2）到曲線C1：tanαx﹣y﹣tanα+1=0的距離d，|AB|=2× ，由此能求出結(jié)果．