【題目】已如橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

【答案】（1）；（2）△OPQ的面積為定值，且此定值為，見解析

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形可知，，根據(jù)求解橢圓方程；（2）當(dāng)與軸垂直時(shí)，設(shè)，代入和橢圓方程，得到面積，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并表示面積，得到面積是定值.

（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.依題查，有得，則，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，.

由，且，解得，或，，所以.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，.

聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得整理得.

，，.

由，則，即，

所以，

即，整理得，則.

又，

點(diǎn)O到直線PQ的距離為，所以.

綜上，△OPQ的面積為定值，且此定值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，設(shè)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，將三角形沿折起，則下列說法正確的是______________.

（1）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有平面；

（2）不論折至何位置，都有；

（3）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有；

（4）在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將邊長(zhǎng)為2的正沿著高折起，使，若折起后四點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰梯形中，分別為的中點(diǎn).現(xiàn)分別沿將和折起，使得平面平面，平面平面，連接，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）求多面體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一項(xiàng)自“一帶一路”沿線20國(guó)青年參與的評(píng)選中“高鐵”、“支付寶”、“共享單車”和“網(wǎng)購(gòu)”被稱作中國(guó)“新四大發(fā)明”，曾以古代“四大發(fā)明”推動(dòng)世界進(jìn)步的中國(guó)，正再次以科技創(chuàng)新向世界展示自己的發(fā)展理念．某班假期分為四個(gè)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，分別對(duì)“新四大發(fā)明”對(duì)人們生活的影響進(jìn)行調(diào)查．于開學(xué)進(jìn)行交流報(bào)告會(huì)．四個(gè)小組隨機(jī)排序，則“支付寶”小組和“網(wǎng)購(gòu)”小組不相鄰的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：若數(shù)列滿足，存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，都有，則稱數(shù)列有上界，是數(shù)列的一個(gè)上界，已知定理：?jiǎn)握{(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂（即極限存在）.

（1）數(shù)列是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）若非負(fù)數(shù)列滿足，（），求證：1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界，且數(shù)列的極限存在，并求其極限；

（3）若正項(xiàng)遞增數(shù)列無(wú)上界，證明：存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于復(fù)數(shù)，下列命題①若，則；②為實(shí)數(shù)的充要條件是；③若是純虛數(shù)，則；④若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2

C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》(楊輝)一書中有關(guān)于三階幻方的問題：將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等(如圖所示)，我們規(guī)定：只要兩個(gè)幻方的對(duì)應(yīng)位置(如每行第一列的方格)中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么不同的三階幻方的個(gè)數(shù)是（ ）

4

9

2

3

5

7

8

1

6

A.9B.8C.6D.4

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