【題目】定義:若數(shù)列滿足,存在實數(shù),對任意,都有,則稱數(shù)列有上界,是數(shù)列的一個上界,已知定理:單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂(即極限存在).

(1)數(shù)列是否存在上界?若存在,試求其所有上界中的最小值;若不存在,請說明理由;

(2)若非負(fù)數(shù)列滿足),求證:1是非負(fù)數(shù)列的一個上界,且數(shù)列的極限存在,并求其極限;

(3)若正項遞增數(shù)列無上界,證明:存在,當(dāng)時,恒有.

【答案】1)存在,1;(2)見解析,極限1;(3)見解析.

【解析】

(1)確定,得到上界的最小值.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明,再證明數(shù)列單調(diào)遞增,得到極限存在,最后計算極限.

(3)假設(shè)結(jié)論不成立,取,,推出矛盾,得到證明.

(1)易知:,

數(shù)列存在上界,上界中的最小值為1

(2)非負(fù)數(shù)列,先證明

當(dāng)時:成立.

假設(shè)當(dāng)時成立,即

當(dāng)時:

也成立

所以恒成立,1是非負(fù)數(shù)列的一個上界,得證.

數(shù)列單調(diào)遞增

故數(shù)列的極限存在

設(shè)

(3)證明:假設(shè),當(dāng)時,恒有.

滿足正項遞增數(shù)列無上界.

,當(dāng)時,

這與題設(shè)矛盾

假設(shè)不成立

故存在,當(dāng)時,恒有.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列判斷正確的是( )

A.”是“”的充分不必要條件

B.函數(shù)的最小值為2

C.當(dāng)時,命題“若,則”為真命題

D.命題“,”的否定是“

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱錐P﹣ABC中,DAB的中點.

1)與BC平行的平面PDEAC于點E,判斷點EAC上的位置并說明理由如下:

2)若PA=PB,且△PCD為銳角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求證:AB⊥PC

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已如橢圓C:的兩個焦點與其中一個頂點構(gòu)成一個斜邊長為4的等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)動直線l交橢圓CPQ兩點,直線OPOQ的斜率分別為k,k.,求證OPQ的面積為定值,并求此定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是偶函數(shù),.

(1)求的值,并判斷函數(shù)上的單調(diào)性,說明理由;

(2)設(shè),若函數(shù)的圖像有且僅有一個交點,求實數(shù)的取值范圍;

(3)定義在上的一個函數(shù),如果存在一個常數(shù),使得式子對一切大于1的自然數(shù)都成立,則稱函數(shù)為“上的函數(shù)”(其中,).試判斷函數(shù)是否為“上的函數(shù)”,若是,則求出的最小值;若不是,則說明理由.(注:).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某群體的人均通勤時間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng))的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:

(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?

(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實際意義.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2,該橢圓與y軸正半軸交于點M,且△MF1F2是邊長為2的等邊三角形.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過點F2任作一直線交橢圓于AB兩點,平面上有一動點P,設(shè)直線PA,PF2PB的斜率分別為k1,k,k2,且滿足k1+k2=2k,求動點P的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某公園有三條觀光大道、圍成直角三角形,其中直角邊,斜邊.

1)若甲乙都以每分鐘100的速度從點出發(fā),甲沿運動,乙沿運動,乙比甲遲2分鐘出發(fā),求乙出發(fā)后的第1分鐘末甲乙之間的距離;

2)現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在點、、,設(shè),乙丙之間的距離是甲乙之間距離2倍,且,請將甲乙之間的距離表示為的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,點在橢圓上,若圓的一條切線(斜率存在)與橢圓C有兩個交點A,B,且.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;

3)已知橢圓C的上頂點為M,點N在圓O上,直線MN與橢圓C相交于另一點Q,且,求直線MN的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案