Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：對(duì)于區(qū)間[﹣1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1 ， x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；
（3）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠﹣2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依題意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）解：∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上為減函數(shù)，

fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵對(duì)于區(qū)間[﹣1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲線(xiàn)方程為y=x3﹣3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線(xiàn)上．

設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），切線(xiàn)的斜率為 （左邊用導(dǎo)數(shù)求出，右邊用斜率的兩點(diǎn)式求出），

整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，故此方程有三個(gè)不同解，下研究方程解有三個(gè)時(shí)參數(shù)所滿(mǎn)足的條件

設(shè)g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，則g′（x0）=6x02﹣6x0，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．

∴函數(shù)g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1

∴關(guān)于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是 ，解得﹣3＜m＜﹣2．

故所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍是﹣3＜m＜﹣2

【解析】（1）解析式中有兩個(gè)參數(shù)，故需要得到兩個(gè)方程求參數(shù)，由于函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值，由極值存在的條件恰好可以得到兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)方程，由此解析式易求．（2）欲證對(duì)于區(qū)間[﹣1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1 ， x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，可以求出函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上的最值，若最大值減去最小值的差小于等于4，則問(wèn)題得到證明，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上的單調(diào)性求最值的問(wèn)題．（3）由于點(diǎn)A（1，m）（m≠﹣2），驗(yàn)證知此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)M（x0 ， y0），然后用兩種方式表示出斜率，建立關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程2x03﹣3x02+m+3=0，再借助函數(shù)的單調(diào)性與極值確定其有三個(gè)解的條件即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況才能正確解答此題．