【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10 cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))
(Ⅰ)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;
(Ⅱ)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)玻璃棒在CC1上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,
在平面ACM中,過N作NP∥MC,交AC于點(diǎn)P,
∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,
又∵AC平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,
∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2 , 解得MC=30cm,
∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,
= ,得AN=16cm.
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.
(Ⅱ)設(shè)玻璃棒在GG1上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,
在平面E1EGG1中,過點(diǎn)N作NP⊥EG,交EG于點(diǎn)P,
過點(diǎn)E作EQ⊥E1G1 , 交E1G1于點(diǎn)Q,
∵EFGH﹣E1F1G1H1為正四棱臺,∴EE1=GG1 , EG∥E1G1 ,
EG≠E1G1 ,
∴EE1G1G為等腰梯形,畫出平面E1EGG1的平面圖,
∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,
∴E1Q=24cm,
由勾股定理得:E1E=40cm,
∴sin∠EE1G1= ,sin∠EGM=sin∠EE1G1= ,cos
根據(jù)正弦定理得: = ,∴sin ,cos ,
∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ,
∴EN= = =20cm.
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.


【解析】(Ⅰ)設(shè)玻璃棒在CC1上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,過N作NP∥MC,交AC于點(diǎn)P,推導(dǎo)出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推導(dǎo)出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長度.
(Ⅱ)設(shè)玻璃棒在GG1上的點(diǎn)為M,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為N,過點(diǎn)N作NP⊥EG,交EG于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作EQ⊥E1G1 , 交E1G1于點(diǎn)Q,推導(dǎo)出EE1G1G為等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM= ,由此能求出玻璃棒l沒入水中部分的長度.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正弦定理的定義和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握正弦定理:;一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題.

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(Ⅱ)證明:b2>3a;
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