【題目】如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .
【答案】4 cm3
【解析】解:由題意,連接OD,交BC于點G,由題意得OD⊥BC,OG= BC,
即OG的長度與BC的長度成正比,
設OG=x,則BC=2 x,DG=5﹣x,
三棱錐的高h= = = ,
=3 ,
則V= = = ,
令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 ,
令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,
則f(x)≤f(2)=80,
∴V≤ =4 cm3 , ∴體積最大值為4 cm3 .
故答案為:4 cm3 .
由題,連接OD,交BC于點G,由題意得OD⊥BC,OG= BC,設OG=x,則BC=2 x,DG=5﹣x,三棱錐的高h= ,求出S△ABC=3 ,V= = ,令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 , f(x)≤f(2)=80,由此能求出體積最大值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10 cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)
(Ⅰ)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點A處,另一端置于側棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;
(Ⅱ)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點E處,另一端置于側棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知中,是角的對邊,則其中真命題的序號是__________.
①若,則在上是增函數(shù);
②若,則是直角三角形;
③ 的最小值為;
④若,則;
⑤若,則.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一種設備的單價為元,設備維修和消耗費用第一年為元,以后每年增加元(是常數(shù)).用表示設備使用的年數(shù),記設備年平均費用為,即 (設備單價設備維修和消耗費用)設備使用的年數(shù).
(Ⅰ)求關于的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)當, 時,求這種設備的最佳更新年限.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.已知S2=2,S3=﹣6.(12分)
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn , 并判斷Sn+1 , Sn , Sn+2是否能成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點M,N分別為線段A1B,B1C的中點.
(1)求證:MN∥平面AA1C1C;
(2)若∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=3,求點B1到面A1BC的距離.
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