Question

【題目】設,分別為橢圓:的左右焦點,已知橢圓上的點到焦點,的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點作直線交橢圓于,兩點,線段的中點為,連結并延長交橢圓于點(為坐標原點),若,,等比數列,求線段的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）根據橢圓定義，代入點，得到和，從而得到橢圓方程；（2）根據（1）得到，根據題意得到，當直線斜率不存在時，說明不成立，當直線斜率存在，設為，與橢圓聯(lián)立得到，，再得到點坐標，求出方程，得到，利用弦長公式，得到，從而得到關于的方程，解得值，得到的方程.

解:（1）因為橢圓上的點到焦點，的距離之和為4

所以，即，

將點代入橢圓方程得，得，

故橢圓方程為.

（2）因為，

所以焦點的坐標分別為和，，

因為，，成等比數列，

所以.

①當直線斜率不存在時，則所求方程為，，.

顯然不符合題意.

②當直線斜率存在，并設直線方程為，

代入得，

設，，則，，

所以，，

即點坐標為，

所以可得直線方程為:，

代入橢圓方程解得，，

故，

又因為，

代入，得，解得，

故直線的方程為.