【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱上不同于的動點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若平面將棱柱分成體積相等的兩部分，求此時(shí)二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先由余弦定理可求得，再由勾股定理可得，然后由和即可證得平面，從而得證；

（2）由題設(shè)知，，結(jié)合柱體的體積可得，所以是的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用法向量求解二面角即可.

（1）證明：（方法一）在中，由余弦定理

.

∴，則，∴.

∴，

又，，

∴平面

又平面，

∴

證明：（方法二）在中，，

∴，∴

又，，

∴平面

又平面，

∴

（2）

由題設(shè)知，

又

，∴是的中點(diǎn).

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)，

∴，，，，，

設(shè)是平面的法向量，

，，令，，

∴

平面的法向量，

.

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè),分別為橢圓:的左右焦點(diǎn),已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn),的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】把一顆骰子投擲2次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，試就方程組解答下列各題：

（1）求方程組只有一個(gè)解的概率；

（2）求方程組只有正數(shù)解的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正四棱臺中，，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“當(dāng)整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”.經(jīng)歷三百多年，于二十世紀(jì)九十年中期由英國數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想，使它終成費(fèi)馬大定理，則下面說法正確的是（ ）

A. 存在至少一組正整數(shù)組使方程有解

B. 關(guān)于的方程有正有理數(shù)解

C. 關(guān)于的方程沒有正有理數(shù)解

D. 當(dāng)整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程沒有正實(shí)數(shù)解

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）求與橢圓有共同焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面，且，，，、分別是、的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的平面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，為內(nèi)的定點(diǎn)，對于內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對為點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)、的廣義坐標(biāo)分別為、，對于下列命題：

① 線段、的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為；

② A、兩點(diǎn)間的距離為；

③ 向量平行于向量的充要條件是；

④ 向量垂直于向量的充要條件是.

其中的真命題是________（請寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩名射擊運(yùn)動員一次射擊命中目標(biāo)的概率分別是0.7，0.6，且每次射擊命中與否相互之間沒有影響，求：

（1）甲射擊三次，第三次才命中目標(biāo)的概率；

（2）甲、乙兩人在第一次射擊中至少有一人命中目標(biāo)的概率；

（3）甲、乙各射擊兩次，甲比乙命中目標(biāo)的次數(shù)恰好多一次的概率.

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