Question

如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．
（1）若四邊形AEDF的周長為24，AB=15，求AC的長；
（2）求證：EF垂直平分AD．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,線段垂直平分線的性質

專題：

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=AE=

1

2

AB，DF=AF=

1

2

AC，然后求出AE+DE=AB，再求解即可；
（2）根據到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線證明．

解答：（1）解：∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，
∴DE=AE=

1

2

AB，DF=AF=

1

2

AC，
∴AE+DE=AB=15，AF+DF=AC，
∵四邊形AEDF的周長為24，AB=15，
∴AC=24-15=9；

（2）證明：∵DE=AE，DF=AF，
∴點E、F在線段AD的垂直平分線上，
∴EF垂直平分AD．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線的性質，熟記性質是解題的關鍵．