Question

2．在正五邊形ABCDE中，AB=2．
（1）如圖1，將正五邊形ABCDE沿AD折疊，點(diǎn)E落在E′處，連接BE′．
①證明D、E′、B三點(diǎn)在一條直線上；
②填空：BE′=$\sqrt{5}$-1．
（2）如圖2，點(diǎn)F在AB邊上，且AF＜$\frac{1}{2}$AB，沿DF折疊正五邊形ABCDE，點(diǎn)A、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、E′，那么∠A′FB與∠E′DC的大小有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由
（3）如圖3，在正五邊形ABCDE中連接AD、BD，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上（點(diǎn)P與A、D不重合）動(dòng)點(diǎn)Q在線段DB的延長(zhǎng)線上，且AP=BQ，連接PQ交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M 點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求中線段MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）①利用正五邊形的性質(zhì)得出△DEA≌△DCB即可求出∠EDA=∠CDB=36°，進(jìn)而即可得出結(jié)論；
②利用等腰三角形的性質(zhì)得出AB=AE'=2，再判斷出△ABE'∽△DBA，得出比例式求解即可得出結(jié)論；
（2）利用三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠CDE'=180°-2x=∠BFA'，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△PMA≌△QHB得出MH=2，再判斷出△PMN≌△NQH即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）①∵ABCDE是正五邊形，
∴∠EDC=108°=∠DCB 且DC=CB，
∴∠CDB=36°，
在△DEA和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{∠DEA=∠DCB}\\{EA=CB}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△DCB，
∴∠EDA=∠CDB=36°，
∴∠ADB=36°，
∴∠ADB=∠ADE'=36°，
∴B，D，E'共線，
②∵AD=BD，∠ADB=36°，
∴∠DAB=72°，
∵AE'=DE'．
∵AB=AE'=2，
∴DE'=2，
∴∠DAE=∠ADE'，
∴∠BAE'=∠ADB，
∵∠ABD=∠ABE'，
∴△ABE'∽△DBA，
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{BE'}{AB}$，
∴$\frac{2}{2+BE'}=\frac{BE'}{2}$，
∴BE'=$\sqrt{5}$-1，
故答案為$\sqrt{5}$-1；
（2）∵四邊形內(nèi)角和為360°，
設(shè)∠EDF=x，
∴∠AFD=144°-x=∠DFA'，
∴∠DFB=36°+x，
∴∠A'FB=108°-2x，
且∠CDE'=108°-2x，
∴∠CDE'=∠BFA'
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB，
∵∠BAD=72°=∠DBA，
∴∠DAB=∠QBH且AP=BQ，∠AMP=∠BHQ
在△PMA和△QHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠QHB}\\{∠PAM=∠QBH}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$
∴△PMA≌△QHB，
∴AM=BH，PM=QH，
∴MH=MB+BH=AM+MB=AB=2，
在△PMN和△NQH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PNM=∠QNH}\\{∠PMN=∠QHN}\\{PM=QH}\end{array}\right.$，
∴△PMN≌△NQH，
∴MN=NH=1．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了正五邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是得出∠ADB=∠ADE'=36°和△ABE'∽△DBA，解（2）的關(guān)鍵是∠DFB=36°+x，解（3）的關(guān)鍵是得出MH=AB=2，是一道中等難度的中考常考題．