Question

13．?dāng)?shù)學(xué)活動--“關(guān)于三角形全等的條件”
【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．
【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．
【逐步探究】
（1）第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，如圖①，根據(jù)HL定理，可得△ABC≌△DEF．
（2）第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF仍成立．請你完成證明．
已知：如圖②，△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，
求證：△ABC≌△DEF．
（3）第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【深入思考】
∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？（請直接寫出結(jié)論．）
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

Answer 1

分析 （1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），則CG=FH，進(jìn)而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；
（3）利用已知圖形再做一個(gè)鈍角三角形即可得出答案；
（4）利用（3）中方法可得出當(dāng)∠B≥∠A時(shí)，則△ABC≌△DEF．

解答 （1）解：如圖①，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案為：HL；

（2）證明：如圖②，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABC=∠DEF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如圖③中，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
△DEF和△ABC不全等；

（4）解：由圖③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴當(dāng)∠B≥∠A時(shí)，△ABC就唯一確定了，
則△ABC≌△DEF．
故答案為：∠B≥∠A．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．