Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE，將

△ABE沿AE所在直線折疊，點B的對應點是點B′，連接AB′并延長交直線DC于點F.

(1) 當點F與點C重合時如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明）.

(2) 當點F在DC的延長線上時如圖（2）,當點F在CD的延長線上時如圖（3），線段DF、BE、AF有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.

                          

Answer 1

解：圖(2)的結論：DF+BE=AF    …………………………………………2分

圖(3)的結論：BE-DF=AF   …………………………………………2分

圖(2)的證明：延長CD到點G,使DG=BE，連接AG  

需證△ABE≌△ADG               …………………1分

∴∠BAE=∠DAG, ∠AEB=∠AGD

∵CB∥AD

∴∠AEB=∠EAD

∵∠BAE=∠B′AE

∴∠ B′AE =∠DAG

∴∠ GAF =∠DAE

∴∠AGD =∠GAF                    …………………1分

∴GF=AF                          …………………1分

∴BE+DF=AF         ………………………………………1分

     圖(3)的證明：在BC上取點M，使BM＝DF，連接AM

需證△ABM≌△ADF                     …………………1分

                ∴∠BAM=∠DAF,AF=AM

                ∵△ABE≌△AB′E

∴∠BAE=∠B′AE 

∴∠MAE=∠DAE

∵AD∥BE

∴∠MEA=∠DAE

∴∠MEA=∠MAE                      …………………1分

∴ME=MA=AF                         …………………1分

∴BE-DF=AF                         …………………1分