【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,A(a,0),C(b,4),且滿足(a+4)2+=0,過CCBx軸于B。

1)求三角形ABC的面積;

2)如圖2,若過BBDACy軸于D,且AE,DE分別平分∠CAB,∠ODB,求∠AED的度數(shù);

3)在y軸上是否存在點P,使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由

【答案】1S三角形ABC=16;(2AED==45°;(3)存在,P點的坐標為(0,﹣2)或(0,6.

【解析】

1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)易得a=-4,b=4,然后根據(jù)三角形面積公式計算;
2)過EEFAC,根據(jù)平行線性質(zhì)得BDACEF,且∠3=CAB=1,∠4=ODB=2,所以∠AED=1+2=(∠CAB+ODB);然后把∠CAB+ODB=5+6=90°代入計算即可.

3)分類討論:設P0t),當Py軸正半軸上時,過PMNx軸,ANy軸,BMy軸,利用SAPC=S梯形MNAC-SANP-SCMP=8可得到關于t的方程,再解方程求出t.

解:(1)∵

a+4=0,b4=0,

a=4,b=4,

A(﹣4,0),C4,4).

CBAB,∴B40),

AB=8,CB=4,則S三角形ABC=×8×4=16

2)如圖甲,過EEFAC

CBx軸,

CBy軸,∠CBA=90°,

∴∠ODB=6

又∵BDAC,

∴∠CAB=5,

∴∠CAB+ODB=5+6=180°﹣∠CBA=90°

BDAC,

BDACEF,

∴∠1=3,∠2=4

AEDE分別平分∠CAB,∠ODB,

∴∠3=CAB,∠4=ODB

∴∠AED=1+2=3+4=(∠CAB+ODB=45°

3)①當Py軸正半軸上時,如圖乙.

設點P0t),分別過點P,A,BMNx軸,ANy軸,BMy軸,交于點M,N,則AN=t,CM=t4,MN=8,PM=PN=4

S三角形ABC=16,

S三角形ACP=S梯形MNACS三角形ANPS三角形CMP=16,

×8t4+t)﹣×4t×4t4=16,解得t=6,即點P的坐標為(06).

②當Py軸負半軸上時,如圖丙,同①作輔助線.

設點P0,a),則AN=a,CM=a+4PM=PN=4

S三角形ACP=S梯形MNACS三角形ANPS三角形CMP=16,

×8(﹣a+4a)﹣×4(﹣a)﹣×44a=16,

解得a=2,

∴點P的坐標為(0,﹣2).

綜上所述,P點的坐標為(0,﹣2)或(0,6).

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A.2
B.2+
C.1+
D.

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A.1
B.1或5
C.3
D.5

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