【題目】定理描述
(1)如圖1,用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言敘述三角形中位線(xiàn)性質(zhì)定理的內(nèi)容.
.
證法回顧
證明三角形中位線(xiàn)性質(zhì)定理的方法很多,但多數(shù)都需要通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)圖去完成.下列是其中一種證法的添加輔助線(xiàn)方法:
添加輔助線(xiàn),如圖2,在△ABC中,過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB,與DE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.
(2)上述證法中,證明三角形中位線(xiàn)定理中的DE∥BC的依據(jù)是( )
A.同位角相等,兩直線(xiàn)平行.
B.平行四邊形對(duì)邊平行.
C.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線(xiàn)平行.
D.平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行
拓展延伸
(3)利用證明三角形中位線(xiàn)定理獲得的經(jīng)驗(yàn)解決下面的問(wèn)題:
如圖3,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線(xiàn),過(guò)點(diǎn)D、E作DF∥EG,分別交BC于F、G,過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC,分別與FD、GE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于M、N,則四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小值是
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)B;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)分別運(yùn)用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述即可;
(2)作出圖形,然后寫(xiě)出已知、求證,延長(zhǎng)DE到F,使DE=EF,利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠F=∠ADE,再求出BD=CF,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行判斷出AB∥CF,然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DF∥BC,DF=BC;
(3)先判斷出四邊形MFGN是平行四邊形,再判斷出MN=FG=DE=4,進(jìn)而判斷出MF⊥BC時(shí),四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小,最后構(gòu)造出直角三角形求出AH即可得出結(jié)論.
(1)文字語(yǔ)言:三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;
符號(hào)語(yǔ)言:∵DE是△ABC的中位線(xiàn),∴DE=BC, DE∥BC
(2)已知:△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),
求證:DE=BC,DE∥BC,
證明:如圖,延長(zhǎng)DE到F,使DE=EF,連接CF,
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),
∴AE=CE,
在△ADE和△CEF中,
,
∴△ADE≌△CEF(SAS),
∴AD=CF,∠ADE=∠F,
∴AB∥CF,
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),
∴AD=BD,
∴BD=CF,
∴BD∥CF,
∴四邊形BCFD是平行四邊形,
∴DF∥BC,DF=BC,
∴DE∥BC且DE=BC.
故答案為:B.
(3)如圖,
∵MN∥BC,FM∥GN,
∴四邊形MFGN是平行四邊形,
∴MF=NG,MN=FG,
∵DE是△ABC的中位線(xiàn),
∴DE=BC=4,DE∥BC,
∴MN=FG=BC=4,
∴四邊形MFGN周長(zhǎng)=2(MF+FG)=2MF+8,
∴MF⊥BC時(shí),MF最短,
即:四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小,
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H,
∴FM=AH
在Rt△ABH中,∠B=45°,AB=10,
∴AH==5,
∴四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小為2MF+8=10+8.
故答案為10+8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上兩點(diǎn),對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為,8.
(1)如圖1,如果點(diǎn)和點(diǎn)分別從點(diǎn),同時(shí)出發(fā),沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒6個(gè)單位.
①,兩點(diǎn)之間的距離為__________.
②當(dāng),兩點(diǎn)相遇時(shí),點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是____________.
③求點(diǎn)出發(fā)多少秒后,與點(diǎn)之間相距4個(gè)單位長(zhǎng)度?
(2)如圖2,如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線(xiàn)段的長(zhǎng)度是否為定值.如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由:如果不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.
(1)AE與FC會(huì)平行嗎?說(shuō)明理由.
(2)AD與BC的位置關(guān)系如何?為什么?
(3)求證:BC平分∠DBE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,E是BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),且△ACE是等邊三角形.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明收集了某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的鞋標(biāo),如圖所示.
為了搞清楚這些字母、數(shù)字的含義,他以“鞋碼”為關(guān)鍵詞上網(wǎng)搜索,得到相關(guān)資料如下:cm表示以厘米為單位的腳長(zhǎng);US表示美制鞋碼,UK表示英制鞋碼,EUR表示歐洲鞋碼.一個(gè)關(guān)于歐州鞋碼的介紹中還有這么一句話(huà):“歐洲鞋碼=1.5×腳長(zhǎng)+2,單位:cm”.
(1)如果腳長(zhǎng)用a表示,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示歐洲鞋碼;有一個(gè)腳長(zhǎng)為24cm的人想購(gòu)買(mǎi)鞋子,應(yīng)建議他選擇EUR碼對(duì)應(yīng)數(shù)字為多少?
(2)小明發(fā)現(xiàn)乙、丙兩個(gè)鞋標(biāo)顯示的cm數(shù)不同,但是US碼對(duì)應(yīng)數(shù)字都是6.5,顯然其中一個(gè)鞋標(biāo)是假的.從歐洲鞋碼與腳長(zhǎng)的換算經(jīng)驗(yàn),US碼與cm數(shù)應(yīng)該也存在某種關(guān)系.若cm數(shù)用b表示,請(qǐng)用含b的代數(shù)式表示出US碼,并幫助小明判斷乙、丙中哪個(gè)鞋標(biāo)為假鞋標(biāo)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一條筆直公路BD的正上方A處有一探測(cè)儀,AD=24m,∠D=90°,一輛轎車(chē)從B點(diǎn)勻速向D點(diǎn)行駛,測(cè)得∠ABD=31°,2秒后到達(dá)C點(diǎn),測(cè)得∠ACD=50°.
(Ⅰ)求B,C兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果精確到1m);
(Ⅱ)若規(guī)定該路段的速度不得超過(guò)15m/s,判斷此轎車(chē)是否超速.
參考數(shù)據(jù):tan31°≈0.6,tan50°≈1.2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
①把向上平移5個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的,畫(huà)出,并寫(xiě)出的坐標(biāo);
②以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心,畫(huà)出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
③以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,畫(huà)出把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖形△A3B3C3,并寫(xiě)出C3的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.
(1)判斷四邊形ACED的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若BD=8cm,求線(xiàn)段BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種商品,已知其每件進(jìn)價(jià)為40元,F(xiàn)在每件售價(jià)為70元,每星期可賣(mài)出500件。該商場(chǎng)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每件漲價(jià)1元,則每星期少賣(mài)出10件;若每件降價(jià)1元,則每星期多賣(mài)出m(m為正整數(shù))件。設(shè)調(diào)查價(jià)格后每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元。
(1)設(shè)該商品每件漲價(jià)x(x為正整數(shù))元,
①若x=5,則每星期可賣(mài)出____件,每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)為_____元;
②當(dāng)x為何值時(shí),W最大,W的最大值是多少。
(2)設(shè)該商品每件降價(jià)y(y為正整數(shù))元,
①寫(xiě)出W與Y的函數(shù)關(guān)系式,并通過(guò)計(jì)算判斷:當(dāng)m=10時(shí)每星期銷(xiāo)售利潤(rùn)能否達(dá)到(1)中W的最大值;
②若使y=10時(shí),每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)W最大,直接寫(xiě)出W的最大值為_____。
(3)若每件降價(jià)5元時(shí)的每星期銷(xiāo)售利潤(rùn),不低于每件漲價(jià)15元時(shí)的每星期銷(xiāo)售利潤(rùn),求m的取值范圍。
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