Question

【題目】已知如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a，AC為對角線，BM∥AC，過點D作 DE∥CM，交AC的延長線于F，交BM的延長線于E．

（1）求證：△ADF≌△BCM；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四邊形ABED的面積（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）SABED＝a2．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)可得∠BMC＝∠AFD，∠FAD＝∠MBC，進而可得出結(jié)論．
（2）可把四邊形ABED的面積分解為△ADF的面積與四邊形ABEF的面積進行求解．

證明：在平行四邊形ABCD中，則AD＝BC，AD//BC，

∵AC∥BM，∴∠AFD＝∠E，∠DAF=∠ACB，

∵CM∥DE，∴∠BMC＝∠E，
∴∠BMC＝∠AFD，

∵AC∥BM，

∴∠ACB=∠MBC，
∴∠FAD＝∠MBC，
則在△ADF與△BCM中．
，
∴△ADF≌△BCM（AAS）．
（2）解：在△ACD中，
∵AC⊥CD，∠ADC＝60°，
∴CD＝AD＝a，
則AC＝a，

∵AC=2CF，

∴CF=a，

∴AF＝= =a，
又由△ADF≌△BCM，可得BM＝a，

又∵DE∥CM，BM∥AC，

∴CFEM為平行四邊形，

∴EM=CF=a，

∴BE=BM+EM=a+a=a，

又∵AC⊥DC，

∴DC為△ADF高，

又∵△ADF≌△BCM，

∴△ADF的高的長度等于DC，
SABED＝S△ADF＋SABEF

＝AFCD＋（AF＋BE）CD

＝×a× a＋（a＋a）×a

＝a2．