【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,DC為⊙O的切線,DE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,弦AC交DE于點(diǎn)P,連接CF.
(1)求證:∠DPC=∠PCD;
(2)若AP=2,填空:
①當(dāng)∠CAB= 時(shí),四邊形OBCF是菱形;
②當(dāng)AC=2AE時(shí),OB= .
【答案】(1)見解析;(2)①30°,②2
【解析】
(1)由切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAO=∠ACO,∠DEA=∠OCD=90°,可得∠DCA=∠APE=∠DPC;
(2)①由菱形的性質(zhì)可得OB=BC,可證△OBC是等邊三角形,即可求解;
②由圓周角定理可得∠ACB=90°=∠AEP,通過證明△APE∽△ABC,由相似三角形的性質(zhì)可求解.
(1)如圖,連接OC,OF,BC,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵DC為⊙O的切線,
∴OC⊥DC,且DE⊥AB,
∴∠DEA=∠OCD=90°,
∴∠CAO+∠APE=90°,∠ACO+∠DCA=90°
∴∠DCA=∠APE=∠DPC,
(2)①當(dāng)∠CAB=30°時(shí),四邊形OBCF是菱形;
若四邊形OBCF是菱形,
∴OB=BC,且OB=OC,
∴△OBC是等邊三角形,
∴∠COB=60°
∵AO=CO,
∴∠CAB=30°,
∴當(dāng)∠CAB=30°時(shí),四邊形OBCF是菱形;
②∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°=∠AEP,且∠CAB=∠PAE,
∴△APE∽△ABC,
∴,且AC=2AE
∴AB=4,
∵AB=2OB
∴OB=2
故答案為:30°,2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園(矩形ABCD),墻長(zhǎng)為22m,這個(gè)矩形的長(zhǎng)AB=xm,菜園的面積為Sm2,且AB>AD.
(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(2)若要圍建的菜園為100m2時(shí),求該萊園的長(zhǎng).
(3)當(dāng)該菜園的長(zhǎng)為多少m時(shí),菜園的面積最大?最大面積是多少m2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于E,交⊙O于G,CF⊥AB于F,點(diǎn)C是弧BG的中點(diǎn).
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AF,BF(AF>BF)是一元二次方程x2﹣8x+12=0的兩根,求CE和AG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,是角平分線,平分交于點(diǎn),經(jīng)過兩點(diǎn)的交于點(diǎn),交于點(diǎn),恰為的直徑.
(1)求證:與相切;
(2)當(dāng)時(shí),求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖,若a=4,b=6,則該直角三角形的周長(zhǎng)為( 。
A.18B.20C.24D.26
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C,B不重合),過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線BC于點(diǎn)E,連接BD,直線BC能否把△BDF分成面積之比為2:3的兩部分?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
(3)若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),使得△MBC為直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被3等分,指針落在每個(gè)扇形內(nèi)的機(jī)會(huì)均等.
(1)現(xiàn)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,停止后,指針指向2的概率為 ;
(2)小明和小華利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲,若采用下列游戲規(guī)則,你認(rèn)為對(duì)雙方公平嗎?請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙是△的外接圓,是⊙的直徑,是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于,交⊙于,于,點(diǎn)是弧的中點(diǎn).
⑴求證:是⊙的切線;
⑵若是一元二次方程的兩根,求和的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形中,已知,,,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,有下列結(jié)論:①;②;③;④若,則點(diǎn)到的距離為.則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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