【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(與點C,B不重合),過點D作DF⊥x軸于點F,交直線BC于點E,連接BD,直線BC能否把△BDF分成面積之比為2:3的兩部分?若能,請求出點D的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
(3)若M為拋物線對稱軸上一動點,使得△MBC為直角三角形,請直接寫出點M的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)當(dāng)點D的坐標(biāo)為(,)或(,)時,直線BC把△BDF分成面積之比為2:3的兩部分;(3)滿足條件的M點的坐標(biāo)為(2,7),(2,﹣3),(2,6),(2,﹣1).
【解析】
(1)由拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)代入解析式中列出二元一次方程組 ,解此方程組即可求得拋物線的解析式;
(2)結(jié)合圖像可知△BDE和△BEF是等高的,,由此得出他們的面積比即為DE:EF=2:3,分兩種情況考慮,根據(jù)兩點間的距離公式即可得出方程,解方程求得D點坐標(biāo);
(3)分情況分析△MBC為直角三角形時M的坐標(biāo)即可.
(1)將A(﹣1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5,
得:,
解得 ,
則拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5;
(2)能.
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
把C(0,5),B(5,0)代入得 ,
解得 ,
所以直線BC的解析式為y=﹣x+5,
設(shè)D(x,﹣x2+4x+5),則E(x,﹣x+5),F(x,0),(0<x<5),
∴DE=﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)=﹣x2+5x,EF=﹣x+5,
當(dāng)DE:EF=2:3時,S△BDE:S△BEF=2:3,
即(﹣x2+5x):(﹣x+5)=2:3,
整理得3x2﹣17x+10=0,
解得x1= ,x2=5(舍去),此時D點坐標(biāo)為(,);
當(dāng)DE:EF=3:2時,S△BDE:S△BEF=3:2,即(﹣x2+5x):(﹣x+5)=3:2,
整理得2x2﹣13x+15=0,
解得x/span>1= ,x2=5(舍去),此時D點坐標(biāo)為(,);
綜上所述,當(dāng)點D的坐標(biāo)為(,)或(,)時,直線BC把△BDF分成面積之比為2:3的兩部分;
(3)拋物線的對稱軸為直線x=2,如圖,
設(shè)M(2,t),
∵B(5,0),C(0,5),
∴BC2=52+52=50,MC2=22+(t﹣5)2=t2﹣10t+29,MB2=(2﹣5)2+t2=t2+9,
當(dāng)BC2+MC2=MB2時,△BCM為直角三角形,∠BCM=90°,即50+t2﹣10t+29=t2+9,解得t=7,此時M點的坐標(biāo)為(2,7);
當(dāng)BC2+MB2=MC2時,△BCM為直角三角形,∠CBM=90°,即50+t2+9=t2﹣10t+29,解得t=﹣3,此時M點的坐標(biāo)為(2,﹣3);
當(dāng)MC2+MB2=BC2時,△BCM為直角三角形,∠CMB=90°,即t2﹣10t+29+t2+9=50,解得t1=6,t2=﹣1,此時M點的坐標(biāo)為(2,6)或(2,﹣1),
綜上所述,滿足條件的M點的坐標(biāo)為(2,7),(2,﹣3),(2,6),(2,﹣1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有3張撲克牌,分別是紅桃3、紅桃4和黑桃5.把牌洗勻后甲先抽取一張,記下花色和數(shù)字后將牌放回,洗勻后乙再抽取一張.
(1)先后兩次抽得的數(shù)字分別記為x和y,畫出樹形圖或列表求|x﹣y|≥1的概率.
(2)甲、乙兩人做游戲,現(xiàn)有兩種方案.A方案:若兩次抽得相同花色則甲勝,否則乙勝.B方案:若兩次抽得數(shù)字和為奇數(shù)則甲勝,否則乙勝.請問甲選擇哪種方案勝率更高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等邊△ABC,頂點B(0,0),C(2,0),規(guī)定把△ABC先沿x軸繞著點C順時針旋轉(zhuǎn),使點A落在x軸上,稱為一次變換,再沿x軸繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),使點B落在x軸上,稱為二次變換,…經(jīng)過連續(xù)2018次變換后,頂點A的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線y=(x>0)經(jīng)過△OAB的頂點A和OB的中點C,AB∥x軸,點A的坐標(biāo)為(2,3),BE⊥x軸,垂足為E.
(1)確定k的值: ;
(2)計算△OAB的面積;
(3)若點D(3,b)在雙曲線y=(x>0)上,直線AD的解析式為y=mx+n,請直接寫出不等式mx+n<的解集: .
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,DC為⊙O的切線,DE⊥AB,垂足為點E,交⊙O于點F,弦AC交DE于點P,連接CF.
(1)求證:∠DPC=∠PCD;
(2)若AP=2,填空:
①當(dāng)∠CAB= 時,四邊形OBCF是菱形;
②當(dāng)AC=2AE時,OB= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.
(1)畫出△AOB平移后的三角形,其平移后的方向為射線AD的方向,平移的距離為AD的長.
(2)觀察平移后的圖形,除了矩形ABCD外,還有一種特殊的平行四邊形?請證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,為邊上一動點(點與點不重合),聯(lián)結(jié),過點作交邊于點.
(1)如圖,當(dāng)時,求的長;
(2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域;
(3)把沿直線翻折得,聯(lián)結(jié),當(dāng)是等腰三角形時,直接寫出的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,直徑垂直于不過圓心的弦,垂足為點,連接,,點在上,且.過點作的切線交的延長線于點,點為上一動點,設(shè)線段的長為.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)設(shè)半徑為,若點為中點,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖①,在正方形ABCD中,△AEF的頂點E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求∠EAF的度數(shù).
(2)如圖②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點,且∠MAN=45°,將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置,連接NH,試判斷MN2,ND2,DH2之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)在圖①中,若EG=4,GF=6,求正方形ABCD的邊長.
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