【題目】(1)如圖①,在正方形ABCD中,△AEF的頂點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求∠EAF的度數(shù).
(2)如圖②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩點(diǎn),且∠MAN=45°,將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置,連接NH,試判斷MN2,ND2,DH2之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)在圖①中,若EG=4,GF=6,求正方形ABCD的邊長.
【答案】(1) 45°.(2) MN2=ND2+DH2.理由見解析;(3)12.
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形,再根據(jù)HL定理得出△ABE≌△AGE,故可得出∠BAE=∠GAE,同理可得出∠GAF=∠DAF,由此可得出結(jié)論;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAM=∠DAH,再根據(jù)SAS定理得出△AMN≌△AHN,故可得出MN=HN.再由∠BAD=90°,AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;
(3)設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則CE=x-4,CF=x-6,再根據(jù)勾股定理即可得出x的值.
試題解析:(1)在正方形ABCD中,∠B=∠D=90°,
∵AG⊥EF,
∴△ABE和△AGE是直角三角形.
在Rt△ABE和Rt△AGE中,
,
∴△ABE≌△AGE(HL),
∴∠BAE=∠GAE.
同理,∠GAF=∠DAF.
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=∠BAD=45°.
(2)MN2=ND2+DH2.
由旋轉(zhuǎn)可知:∠BAM=∠DAH,
∵∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.
∴∠HAN=∠MAN.
在△AMN與△AHN中,
,
∴△AMN≌△AHN(SAS),
∴MN=HN.
∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.
∴NH2=ND2+DH2.
∴MN2=ND2+DH2.
(3)由(1)知,BE=EG=4,DF=FG=6.
設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則CE=x-4,CF=x-6.
∵CE2+CF2=EF2,
∴(x-4)2+(x-6)2=102.
解這個(gè)方程,得x1=12,x2=-2(不合題意,舍去).
∴正方形ABCD的邊長為12.
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