Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，已知點A(－8，0)，B(0，6)，點M在線段AB上。

（1）如圖1，如果點M是線段AB的中點，且⊙M的半徑等于4，試判斷直線OB與⊙M的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2，⊙M與x軸，y軸都相切，切點分別為E，F，試求出點M的坐標；

（3）如圖3，⊙M與x軸，y軸，線段AB都相切，切點分別為E，F，G，試求出點M的坐標（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）OB與⊙M相切；（2）M（－，）；（3）M（－2，2）

【解析】（1）設線段OB的中點為D，連結MD，根據三角形的中位線求出MD，根據直線和圓的位置關系得出即可；

（2）求出過點A、B的一次函數關系式是y=x+6，設M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=x+6得出關于a的方程，求出即可．

（3）連接ME、MF、MG、MA、MB、MO，設ME=MF=MG=r，根據S△ABC=AOME+BOMF+ABMG=AOBO求得r=2，據此可得答案．

（1）直線OB與⊙M相切．理由如下：

設線段OB的中點為D，如圖1，連結MD，

∵點M是線段AB的中點，所以MD∥AO，MD=4，

∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，點D在⊙M上．

又∵點D在直線OB上，∴直線OB與⊙M相切；

（2）如圖2，連接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴設直線AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直線AB的函數關系式是y=x+6．

∵⊙M與x軸、y軸都相切，∴點M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF，設M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得：﹣a=a+6，得：a=﹣，∴點M的坐標為（﹣）．

（3）如圖3，連接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M與x軸，y軸，線段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，設ME=MF=MG=r，則S△ABC=AOME+BOMF+ABMG=AOBO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB==10，∴r8+r6+r10=×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴點M的坐標為（﹣2，2）．