Question

3．已知：如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，O，M，N分別為AB，AD，BE的中點(diǎn)，連接OM，ON，MN．
（1）求證：OM=ON，OM⊥ON．
（2）將圖1中△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得圖2，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．已知BC=2CD=6，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖1，根據(jù)AC=BC，CD=CE，M，N分別為AD，BE的中點(diǎn)，利用等線段代換可證明AM=CN，再根據(jù)三角形三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OC=OA，∠BOC=∠A=45°，∠AOC=90°，于是可根據(jù)“SAS”判斷△OCN≌△OAM，則ON=OM，∠CON=∠AOM，然后證明∠MON=90°得到OM⊥ON；
（2）連結(jié)BD，如圖2，先判斷△OMN為等腰直角三角形得到MN=$\sqrt{2}$OM，再判斷OM為△ABD的中位線得到OM=$\frac{1}{2}$BD，則MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，所以當(dāng)BD的長(zhǎng)最小時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，由于點(diǎn)D在以C點(diǎn)為圓心，CD為半徑的圓上，則可判斷點(diǎn)B到⊙C的最短距離就是BD的最小值，此時(shí)點(diǎn)D在BC上，所以BD的最小值為3，則MN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖1，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵M(jìn)，N分別為AD，BE的中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（AC-CD）=$\frac{1}{2}$（BC-CE）=$\frac{1}{2}$（BN+CN-CE）=$\frac{1}{2}$（NE+CN-CE）=$\frac{1}{2}$（NC+CE+CN-CE）=CN，
∵點(diǎn)O為等腰直角三角形斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OC=OA，∠BOC=∠A=45°，∠AOC=90°，
在△OCN和△OAM中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠OCN=∠A}\\{CN=AM}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，∠CON=∠AOM，
∵∠AOM+∠COM=90°，
∴∠COM+∠CON=90°，即∠MON=90°，
∴OM⊥ON；
（2）解：連結(jié)BD，如圖2，
∵OM=ON，∠MON=90°，
∴△OMN為等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$OM，
∵點(diǎn)O、M分別為AB、AD的中點(diǎn)，
∴OM為△ABD的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
當(dāng)BD的長(zhǎng)最小時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，
∵點(diǎn)D在以C點(diǎn)為圓心，CD為半徑的圓上，
∴點(diǎn)B到⊙C的最短距離就是BD的最小值，此時(shí)點(diǎn)D在BC上，
∵BC=2CD=6，
∴BD的最小值為3，
∴MN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)．