【題目】在綜合實踐課上,老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數(shù)學活動.

已知,在等腰三角形紙片ABC中,CA=CB=5,∠ACB=120°,將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如圖所示放置,頂點P在線段BA上滑動(點P不與AB重合),三角尺的直角邊PM始終經過點C,并與CB的夾角∠PCB=α,斜邊PNAC于點D

1)特例感知

當∠BPC110°時,α=   °,點PBA運動時,∠ADP逐漸變   (填“大”或“小”).

2)合作交流

AP等于多少時,△APD≌△BCP,請說明理由.

3)思維拓展

在點P的滑動過程中,△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請求出夾角α的大;若不可以,請說明理由.

【答案】140°,。唬2)當AP5時,△APD≌△BCP,理由詳見解析;(3)當α45°或90°時,△PCD是等腰三角形.

【解析】

(1)先根據三角形內角和定理求出∠B的度數(shù),再一次運用三角形內角和定理即可求出 的度數(shù);根據三角形內角和定理即可判斷點PBA運動時,∠ADP的變化情況;

(2)先根據三角形外角等于與它不相鄰的兩個內角和得到∠APC=∠B30°+PCB,再證明∠APD=∠BCP,根據全等三角形的判定定理,即可得到當AP5時,△APD≌△BCP

(3)根據等腰三角形的判定,分三種情況討論即可得到;

解:(1)∵CA=CB=5,∠ACB=120°,

∴∠B=A= =30°,

∵三角尺的直角邊PM始終經過點C,

∴再移動的過程中,∠APN不斷變大,∠A的度數(shù)沒有變化,

∴根據三角形的內角和定理,得到∠ADP逐漸變。

故答案為:40°,。

2)當AP5時,△APD≌△BCP

理由如下:∵∠ACB120°,CACB,

∴∠A=∠B30°.

又∵∠APC是△BPC的一個外角,

∴∠APC=∠B30°+PCB

∵∠APC=∠DPC+APD30°+APD,

∴∠APD=∠BCP

APBC5時,

在△APD和△BCP中,

∴△APD≌△BCPASA);

3)△PCD的形狀可以是等腰三角形.

根據題意得:∠PCD120°﹣α,∠CPD30°,

有以下三種情況:

PCPD時,△PCD是等腰三角形,

∴∠PCD=∠PDC75°,即120°﹣α75°,

α45°;

DPDC時,△PCD是等腰三角形,

∴∠PCD=∠CPD30°,即120°﹣α30°,

α90°;

CPCD時,△PCD是等腰三角形,

∴∠CDP=∠CPD30°,

∴∠PCD180°﹣2×30°=120°,

120°﹣α120°,

α0°,

此時點P與點B重合,不符合題意,舍去.

綜上所述,當α45°或90°時,△PCD是等腰三角形.

練習冊系列答案
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閱讀以下材料:

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反之,“如果△ABC與△DEF是互補三角形,那么有AC=DE,∠C+E=180°,BC=EF”也是成立的.

自主探究

利用上面所學知識以及全等三角形的相關知識解決問題:

1)性質:互補三角形的面積相等

如圖②,已知△ABC與△DEF是互補三角形.

求證:△ABC與△DEF的面積相等.

證明:分別作△ABC與△DEF的邊BC,EF上的高線,則∠AGC=DHE=90°

…… (將剩余證明過程補充完整)

2)互補三角形一定不全等,請你判斷該說法是否正確,并說明理由,如果不正確,請舉出一個反例,畫出示意圖.

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