【題目】△ 中, .取 邊的中點 ,作 ⊥ 于點 ,取 的中點 ,連接 , 交于點 .
(1)如圖1,如果 ,求證: ⊥ 并求 的值;
(2)如圖2,如果 ,求證: ⊥ 并用含 的式子表示 .
【答案】
(1)解:如圖1,連接AD,
∵AB=AC,點D是BC的中點,
∴∠ABC=∠C,∠BAD=∠DAC= ∠BAC,AD⊥BC,
∵AD⊥BC,DE⊥AC,
∴∠ADE+∠CDE=90°,∠C+∠CDE=90°,
∴∠ADE=∠C.
又∵∠ADB=∠DEC=90°,
∴△ADB∽△DEC,∴ ,即ADCE=BDDE.
∵點D是BC的中點,點F是DE的中點,
∴BD= BC,DE=2DF,
∴ADCE═ BC2DF=BCDF,
∴ ,
又∵∠ADE=∠C,
∴△AFD∽△BEC,
∴ ,在Rt△ADB中,
∵∠ABD=90°-∠BAD=90°- ∠BAC,BD= BC,
∴tan∠ABD=tan(90°- ∠BAC)= ,
∴ = tan(90°- ∠BAC).
∵△AFD∽△BEC,
∴∠DAF=∠CBE.
∵∠CBE+∠BOD=90°,∠AOH=∠BOD,
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°,
∴∠AHO=180°-90°=90°,即∠AHB=90°
根據(jù)以上結(jié)論可得:∠AHB=90°, = tan(90°- ×90°)= ;∴AF⊥BE, =
(2)解:如圖2,
根據(jù)以上結(jié)論可得:∠AHB=90°, = tan(90°- α);∴AF⊥BE, = tan(90°- α)
【解析】(1)由AB=AC,點D是BC的中點,根據(jù)三線合一,得到AD⊥BC,由DE⊥AC,根據(jù)同角的余角相等,得到∠ADE=∠C;得到△ADB∽△DEC,得到比例,即ADCE=BDDE;由已知得到ADCE=BCDF,又∠ADE=∠C,得到△AFD∽△BEC,得到比例,在Rt△ADB中,根據(jù)三角函數(shù)定義,得到∠DAF=∠CBE,由三角形內(nèi)角和定理求出∠AHO=90°,即∠AHB=90°,根據(jù)以上結(jié)論可得
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的根本,需要知道相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方;銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線交x軸于A,交y軸于B,過B作,且,點C在第四象限,點.
求點A,B,C的坐標(biāo);
點M是直線AB上一動點,當(dāng)最小時,求點M的坐標(biāo);
點P、Q分別在直線AB和BC上,是以RQ為斜邊的等腰直角三角形直接寫出點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一場活動中活動主辦方為了獎勵活動中取得了好成績的參賽選手,計劃購買共100件的甲、乙兩紀(jì)念品發(fā)放其中甲種紀(jì)念品每件售價120元,乙種紀(jì)念品每件售價80元,
(1)如果購買甲、乙兩種紀(jì)念品一共花費了9600元,求購買甲、乙兩種紀(jì)念品各是多少件?
(2)設(shè)購買甲種紀(jì)念品m件,如果購買乙種紀(jì)念品的件數(shù)不超過甲種紀(jì)念品的數(shù)量的2倍,并且總費用不超過9400元.問組委會購買甲、乙兩種紀(jì)念品共有幾種方案?哪一種方案所需總費用最少?最少總費用是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交于點P,連結(jié)EF、EO,若DE= ,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列解方程組的部分過程,回答下列問題
解方程組
現(xiàn)有兩位同學(xué)的解法如下:
解法一;由①,得x=2y+5,③
把③代入②,得3(2y+5)﹣2y=3.……
解法二:①﹣②,得﹣2x=2.……
(1)解法一使用的具體方法是________,解法二使用的具體方法是______,以上兩種方法的共同點是________.
(2)請你任選一種解法,把完整的解題過程寫出來
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的面積為12,△ABC是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),對角線AC上有一點P使PE+PD的和最小,這個最小值為( )
A. B. C. 3 D.
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【題目】如圖,在等邊 中, , , 分別是 , , 上的點, , , ,則 的面積與 的面積之比等于( )
A.1∶3
B.2∶3
C. ∶2
D. ∶3
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【題目】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長線)于點M,N.當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(如圖1),易證BM+DN=MN.
(1)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(如圖2),線段BM,DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想,并加以證明.
(2)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時,線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小美周末來到公園,發(fā)現(xiàn)在公園一角有一種“守株待兔”游戲.游戲設(shè)計者提供了一只兔子和一個有A,B,C,D,E五個出入口的兔籠,而且籠內(nèi)的兔子從每個出入口走出兔籠的機會是均等的.規(guī)定:①玩家只能將小兔從A、B兩個出入口放入,②如果小兔進入籠子后選擇從開始進入的出入口離開,則可獲得一只價值5元小兔玩具,否則每玩一次應(yīng)付費3元.
(1)請用表格或樹狀圖求小美玩一次“守株待兔”游戲能得到小兔玩具的概率;
(2)假設(shè)有1000人次玩此游戲,估計游戲設(shè)計者可賺多少元?
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