Question

【題目】長江汛期即將來臨，為便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈(如圖1)，∠BAN=45°.燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度／秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度／秒.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN.如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，求∠BAC與∠BCD的比值，并說明理由.

Answer 1

【答案】2∠BAC=3∠BCD.

【解析】

設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)A燈的轉(zhuǎn)動(dòng)速度及鄰補(bǔ)角的定義，可用含t的代數(shù)式表示出∠CAN，而∠BAN=45°=∠BAC+∠CAN，因此用含t的代數(shù)式表示出∠BAC； 再利用平行線的性質(zhì)，可知∠BCA=∠CBD+∠CAN，用含t的代數(shù)式表示出∠BCA，再根據(jù)垂直的定義，可證∠BCA+∠BCD=90°，再用含t的代數(shù)式表示出∠BCD，然后求出∠BAC與∠BCD的比值，即可得出它們之間的關(guān)系.

解：設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∵∠CAN=180°﹣3t，

∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，

又∵PQ∥MN，

如圖，過點(diǎn)C作GH∥PQ∥MN，

則∠HCA=∠CAN,∠BCH=∠CBD,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，

而∠ACD=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，

即2∠BAC=3∠BCD.