【題目】問題情境:如圖1,AB∥CD,∠A=30°,∠C=40°,求∠AEC的度數(shù).小明的思路是:
(1)初步嘗試:按小明的思路,求得∠AEC的度數(shù);
(2)問題遷移:如圖2,AB∥CD,點E、F為AB、CD內(nèi)部兩點,問∠A、∠E、∠F和∠D之間有何數(shù)量關系?請說明理由;
(3)應用拓展:如圖3,AB∥CD,點E、F為AB、CD內(nèi)部兩點,如果∠E+∠EFG=160°,請直接寫出∠B與∠D之問的數(shù)量關系.
【答案】(1)70° (2)答案見解析 (3)∠B+∠D=160°
【解析】
(1)添加輔助線,轉化基本圖形,過E作EM∥AB,利用平行線的性質可證得∠A =∠AEM,∠C=∠CEM,再證明∠AEC=∠A+∠C,繼而可解答問題;
(2)添加輔助線,轉化兩直線平行的基本圖形,過點E作EM∥AB, 過點F作FN∥AB ,利用平行線的性質可證AB∥ME∥FN∥CD, 再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可證得∠A =∠AEM,∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN,然后將三式相加,可證得結論;
(3)過點E作EH∥AB,過點F作FM∥AB ,結合已知可證得AB∥CD∥FM∥EH,利用兩直線平行,同位角相等,同旁內(nèi)角互補,可證∠B=∠BEH,∠EFM=∠HEF,∠MFD+∠D=180°,再將三個等式相加,整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD,然后由∠BEF+∠EFG=160° ,可推出∠BEF-∠EFD=-20°,整體代入求出∠B+∠D的值.
(1)如圖,過E作EM∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥ME∥CD,
∴∠A =∠AEM,∠C=∠CEM,
∴∠AEC=∠A+∠C=70°;
(2)∠A+∠EFD =∠AEF+∠D
理由如下:過點E作EM∥AB, 過點F作FN∥AB
∵AB∥CD,∴AB∥ME∥FN∥CD,
∴∠A =∠AEM,∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN,
∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D;
(3)過點E作EH∥AB,過點F作FM∥AB ,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥FM∥EH,
∴∠B=∠BEH,∠EFM=∠HEF,∠MFD+∠D=180°,
∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF,
∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF,
∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。
∵ ∠BEF+∠EFG=160° ,
∴∠BEF+180°-∠EFD=160°,
∴∠BEF-∠EFD=-20°,
∴∠B+∠D=180°-20°=160°.
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【題目】(2013年四川南充3分)如圖,把矩形ABCD沿EF翻折,點B恰好落在AD邊的B′處,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,則矩形ABCD的面積是【 】
A.12 B. 24 C. 12 D. 16
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【題目】某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進價為15萬元/輛,經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn):當該型號汽車售價定為25萬元/輛時,平均每周售出8輛;售價每降低0.5萬元,平均每周多售出1輛.
(1)當售價為22萬元/輛時,求平均每周的銷售利潤.
(2)若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元,為了盡快減少庫存,求每輛汽車的售價.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分線交對角線AC于點F,E為垂足,連結DF,則∠CDF等于( )
A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°
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【題目】下面是小東設計的“作矩形”的尺規(guī)作圖過程,已知:
求作:矩形
作法:如圖,
①作線段的垂直平分線角交于點;
②連接并延長,在延長線上截取
③連接
所以四邊形即為所求作的矩形
根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形:(保留作圖痕跡)
(2)完成下邊的證明:
證明: ,,
四邊形是平行四邊形( )(填推理的依據(jù))
四邊形是矩形( )(填推理的依據(jù))
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【題目】長江汛期即將來臨,為便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況,防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈(如圖1),∠BAN=45°.燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉,燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉,兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是3度/秒,燈B轉動的速度是1度/秒.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的,即PQ∥MN.如圖2,兩燈同時轉動,在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作CD⊥AC交PQ于點D,則在轉動過程中,求∠BAC與∠BCD的比值,并說明理由.
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【題目】某商場為了吸引顧客,設計了一種促銷活動.在一個不透明的箱子里放有4個完全相同的小球,球上分別標有“0元”、“10元”、“30元”、“50元”的字樣.規(guī)定:顧客在本商場同一日內(nèi),消費每滿300元,就可以從箱子里先后摸出兩個球(每次只摸出一個球,第一次摸出后不放回).商場根據(jù)兩個小球所標金額之和返還相應價格的購物券,可以重新在本商場消費.某顧客消費剛好滿300元,則在本次消費中:
(1)該顧客至少可得 元購物券,至多可得 元購物券;
(2)請用畫樹狀圖或列表法,求出該顧客所獲購物券的金額不低于50元的概率.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點A(m,2),點B(﹣2,n ),一次函數(shù)圖象與y軸的交點為C.
(1)求一次函數(shù)解析式;
(2)求C點的坐標;
(3)求△AOB的面積.
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【題目】嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究數(shù)學問題:
一副三角尺分別有一個角為直角,其余角度如圖1所示,.
發(fā)現(xiàn):
(1)如圖2,當與重合時,_____.
(2)如圖3,將圖2中繞點順時針旋轉一定角度使得,求的度數(shù).
拓展:
(3)如圖4,繼續(xù)旋轉,使得于點,
①此時與平行嗎?請說明理由.
②求的度數(shù).
探究:
(4)如圖5、圖6,繼續(xù)旋轉,使得,求的度數(shù).
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