【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上,此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由;

(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長BD交CF于點(diǎn)H.

①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=2,AD=3 時(shí),求線段DH的長.

【答案】
(1)

解:①由(1)得△CAF≌△BAD,

∴∠CFA=∠BDA,

∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,

∴∠CFA+∠FNH=90°,

∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;

②連接DF,延長AB交DF于M,

∵四邊形ADEF是正方形,AD=3 ,AB=2,

∴AM=DM=3,BM=AM﹣AB=1,

∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

∴∠BAD=45°,

∴AM⊥DF,

∴DB= = ,

∵∠MAD=∠MDA=45°,

∴∠AMD=90°,又∠DHF=90°,∠MDB=∠HDF,

∴△DMB∽△DHF,

= ,即 =

解得,DH=


(2)

解:①由(1)得△CAF≌△BAD,

∴∠CFA=∠BDA,

∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,

∴∠CFA+∠FNH=90°,

∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;

②連接DF,延長AB交DF于M,

∵四邊形ADEF是正方形,AD=3 ,AB=2,

∴AM=DM=3,BM=AM﹣AB=1,

∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

∴∠BAD=45°,

∴AM⊥DF,

∴DB= = ,

∵∠MAD=∠MDA=45°,

∴∠AMD=90°,又∠DHF=90°,∠MDB=∠HDF,

∴△DMB∽△DHF,

= ,即 = ,

解得,DH=


【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD,證明結(jié)論;(2)①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可;
②連接DF,延長AB交DF于M,根據(jù)題意和等腰直角三角形的性質(zhì)求出DM、BM的長,根據(jù)勾股定理求出BD的長,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,計(jì)算即可得到答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在y軸正半軸上,OA=OB,函數(shù)y=﹣ 的圖象與線段AB交于M點(diǎn),且AM=BM.
(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求直線AB的解析式.

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(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到了“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

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組別

成績x分

頻數(shù)(人數(shù))

第1組

50≤x<60

6

第2組

60≤x<70

8

第3組

70≤x<80

14

第4組

80≤x<90

a

第5組

90≤x<100

10

請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題:
(1)①求表中a的值;②頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(2)若測(cè)試成績不低于80分為優(yōu)秀,則本次測(cè)試的優(yōu)秀率是多少?
(3)第5組10名同學(xué)中,有4名男同學(xué),現(xiàn)將這10名同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行對(duì)抗練習(xí),且4名男同學(xué)每組分兩人,求小明與小強(qiáng)兩名男同學(xué)能分在同一組的概率.

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(1) 如圖1,若OP=6,求m的值

(2) 如圖2,點(diǎn)Cx軸負(fù)半軸上,以CP為斜邊作直角三角形BCP,∠CBP=90°,且∠BPC=∠APO.取OC的中點(diǎn)D,連接AD、BD,求證:AD=BD

(3) 如圖3,將△AOP沿直線OP翻折得到△EOP(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E).若點(diǎn)Ex軸的距離不大于3,直接寫出m的取值范圍(無需解答過程)

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(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)P(m,n)為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥y軸于點(diǎn)F,連接EF,問:

①若△PAO的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出m的取值范圍;

②是否存在點(diǎn)P,使EF的值最小?若存在,求出EF的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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