【題目】如圖,平面直角坐標系中,已知點A(0,5),點P(m,5)在第二象限,連接AP、OP
(1) 如圖1,若OP=6,求m的值
(2) 如圖2,點C在x軸負半軸上,以CP為斜邊作直角三角形BCP,∠CBP=90°,且∠BPC=∠APO.取OC的中點D,連接AD、BD,求證:AD=BD
(3) 如圖3,將△AOP沿直線OP翻折得到△EOP(點A的對應點為點E).若點E到x軸的距離不大于3,直接寫出m的取值范圍(無需解答過程)
【答案】(1)- (2)證明見解析(3)-10≤m≤-
【解析】
(1)根據勾股定理計算PA的長,可得m的值;
(2)如圖2,作輔助線,構建平行四邊形PMDN,得PM=DN,DM=PN,∠PMD=∠PND,又M、N分別為Rt△PBC、Rt△PAO斜邊的中點,可得BM=MP,AN=PN,證明△DNA≌△BMD,得AD=BD;
(3)由條件可知點E的縱坐標大于或等于-3小于或等于3,分別計算點E的縱坐標為3和-3時m的值可得m的取值范圍.
(1)由點A(0,5),點P(m,5)可知PA⊥y軸,
∵OP=6,OA=5,
由勾股定理可求PA=,
∴m=-;
(2)如圖2,取CP、OP中點M、N,連接DM、DN、BM、AN,
∵D、M、N分別為OC、PC、PO的中點,
∴DM∥PO,DN∥PC,
∴四邊形PMDN是平行四邊形,
∴PM=DN,DM=PN,∠PMD=∠PND,
又M、N分別為Rt△PBC、Rt△PAO斜邊的中點,
∴BM=MP,AN=PN,
∵∠BPC=∠APO
∴∠BMP=∠ANP,
∴∠BMP+∠PMD=∠ANP+∠PND,
∴∠DNA=∠BMD,
∴△DNA≌△BMD,
∴AD=BD;
(3)由條件可知點E的縱坐標大于或等于-3小于或等于3,
①當點E的縱坐標為3時,如圖4,過點E作ES⊥x軸于S,交直線AP于R,
在Rt△OES中,OE=OA=5,ES=3,可求OS=AR=4,RE=2,
∵PA=PE=-m,PR=4+m,
在Rt△PRE中,由22+(4+m)2=(-m)2,
解得:m=;
②當點E的縱坐標為-3時,如圖5,過點E作ES⊥x軸于S,交直線AP于R,
在Rt△OES中,OE=OA=5,ES=3,
∴OS=AR=4,
∴PR=10-4=6,
由勾股定理得:RE==8,
∵PA=PE=-m,PR=-4-m,
在Rt△△PRE中,由82+(4+m)2=(-m)2,
解得:m=-10,
綜上所述,當-10≤m≤時,點E到x軸的距離不大于3.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某學校去年在某商場購買甲、乙兩種不同足球,購買甲種足球共花費2400元,購買乙種足球共花費1600元,購買甲種足球數量是購買乙種足球數量的2倍.且購買一個乙種足球比購買一個甲種足球多花20元.
(1)求購買一個甲種足球、一個乙種足球各需多少元;
(2)今年學校為編排“足球操”,決定再次購買甲、乙兩種足球共50個.如果兩種足球的單價沒有改變,而此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過3500元,那么這所學校最少可購買多少個甲種足球?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點B、C分別在邊AD、AF上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當△ABC繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請說明理由;
(2)當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長BD交CF于點H.
①求證:BD⊥CF;
②當AB=2,AD=3 時,求線段DH的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.
(1)如圖①,若AB∥CD,點P在AB,CD外部,則有 ∠B=∠BOD,又因為∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.將點P移到AB,CD內部,如圖②,以上結論是否成立?若成立,請說明理由;若不成立,則∠BPD,∠B,∠D之間有何數量關系?請證明你的結論;
(2)在圖②中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q,如圖③,則∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之間有何數量關系?(不需證明)
(3)根據(2)的結論,求圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°
(1) 求證:四邊形ABCD是矩形
(2) 若DE⊥AC交BC于E,∠ADB∶∠CDB=2∶3,則∠BDE的度數是多少?
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【題目】列方程解應用題
情景:
試根據圖中的信息,解答下列問題:
(1)購買6根跳繩需___________元,購買12根跳繩需_____________元.
(2)小紅比小明多買2根,付款時小紅反而比小明少5元,你認為有這種可能嗎?若有,請求出小紅購買跳繩的根數;若沒有,請說明理由.
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【題目】為了更好地治理水質,保護環(huán)境,我縣污水處理公司決定購買10臺污水處理設備,現(xiàn)有A、B兩種設備可供選擇,月處理污水分別為240m3/月、200m3/月,經調查:購買一臺A型設備比購買一臺B型設備多2萬元,購買2臺A型設備比購買3臺B型設備少6萬元.
(1)若污水處理公司購買設備的預算資金不超過105萬元,你認為該公司有哪幾種購買方案?
(2)若每月需處理的污水約2040m3,在不突破資金預算的前提下,為了節(jié)約資金,又要保證治污效果,請你為污水處理公司設計一種最省錢的方案.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC,以AB為直徑的⊙O分別交AC于D,BC于E,連接ED,若ED=EC.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2 ,求CD的長.
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