Question

【題目】定義：如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“直觀三角形”．

（1）拋物線y=x2的“直觀三角形”是　 　．

A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

（2）若拋物線y=ax2+2ax﹣3a的“直觀三角形”是直角三角形，求a的值；

（3）如圖，面積為12的矩形ABCO的對角線OB在x軸的正半軸上，AC與OB相交于點E，若△ABE是拋物線y=ax2+bx+c的“直觀三角形”，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）a=±；（3）拋物線的解析式y=﹣x2+6x﹣24．

【解析】

按照題目中給定的“直觀三角形”定義，求解，（1）證明三角形是等邊三角形.(2)利用三角形是直角三角形反推a.（3）利用已知條件，列方程組求二次函數(shù)的解析式.

解：（1）設(shè)拋物線y=x2﹣2x與x軸的交點坐標為A，B，頂點為D，

∴A（0，0），B（2，0），D（，﹣3），

∴AD=BD=2，AB=2，

∴AB=AD=BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴拋物線y=x2﹣2x對應的“直觀三角形”是等邊三角形，

故答案為：B；

（2）設(shè)拋物線y=ax2+2ax﹣3a與x軸的交點坐標為A，B，頂點為D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），

∵拋物線y=ax2+2ax﹣3a對應的“直觀三角形”是直角三角形，

∴AB2=AD2+BD2，

∴16=4+16a2+4+16a2，

∴a=±；

（3）如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE=CE=OE=BE，

∴S△ABE=S矩形ABCD=×12=3，

∵△ABE是拋物線的“直觀三角形”，

根據(jù)拋物線的對稱性得，AE=AB，

∴AE=AB=BE，

∴△ABE是等邊三角形，

過點A作AH⊥BE，

∴AH=ABsin∠ABE=AB=BE，

∴BE2=3，

∴BE=2，

∴AH=3，EH=，

∴A（3，3），E（2，0），B（4，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）2+3，

將點E（2，0）代入得，a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣3）2+3=﹣x2+6x﹣24．

∴過點A，B，E三點的拋物線的解析式y=﹣x2+6x﹣24．