【題目】如圖,點C為線段AB上一點,ACM,CBN是等邊三角形,直線AN,MC交于點E,直線BM、CN交與F點。

(1)求證:AN=BM;

(2)求證:CEF為等邊三角形;

(3)ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900,其他條件不變,在圖2中補出符合要求的圖形,并判斷第(1)(2)兩小題的結(jié)論是否仍然成立,不要求證明。

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)成立.

【解析】

試題(1)可通過全等三角形來得出簡單的線段相等,證明AN=BM,只要求出三角形ACNMCB全等即可,這兩個三角形中,已知的條件有AC=MC,NC=CB,只要證明這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可,我們發(fā)現(xiàn)∠ACN∠MCB都是等邊三角形的外角,因此它們都是120°,這樣就能得出兩三角形全等了.也就證出了AN=BM

2)我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180﹣60﹣60=60°,因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形,可從EC,CF入手,由(1)的全等三角形我們知道,∠MAC=∠BMC,又知道了AC=MC∠MCF=∠ACE=60°,那么此時三角形AEC≌三角形MCF,可得出CF=CE,于是我們再根據(jù)∠ECF=60°,便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論.

3)判定結(jié)論1是否正確,也是通過證明三角形ACNBCM來求得.這兩個三角形中MC=ACNC=BC,∠MCB∠ACN都是60°+∠ACB,因此兩三角形就全等,AN=BM,結(jié)論1正確.如圖,當(dāng)把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形.

試題解析:(1∵△ACM,△CBN是等邊三角形,

∴AC=MCBC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°

△CAN△MCB中,,∴△CAN≌△MCBSAS),

∴AN=BM

2∵△CAN≌△MCB,

∴∠CAN=∠CMB,

∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°

∴∠MCF=∠ACE,

△CAE△CMF中,,

∴△CAE≌△CMFASA),

∴CE=CF,

∴△CEF為等腰三角形,

∵∠ECF=60°,

∴△CEF為等邊三角形.

3)連接ANBM,∵△ACM△CBN是等邊三角形,∴AC=MC,BC=CN∠ACM=∠BCN=60°,∵∠ACB=90°∴∠ACN=∠MCB,

△ACN△MCB中,,∴△ACN≌△MCBSAS),

∴AN=MB

當(dāng)把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形,

即結(jié)論1成立,結(jié)論2不成立.

練習(xí)冊系列答案
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1)求證:AEC≌△CDB;

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3)拓展提升:如圖3,∠E=60°,EC=EB=4cm,點OBC上,且OC=3cm,動點P從點E沿射線EC2cm/s速度運動,連結(jié)OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF.要使點F恰好落在射線EB上,求點P運動的時間.

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(1)線段AB,BC,AC的長分別為AB=   ,BC=   ,AC=   ;

(2)折疊圖1中的ABC,使點A與點C重合,再將折疊后的圖形展開,折痕DEAB于點D,交AC于點E,連接CD,如圖2.

請從下列A、B兩題中任選一題作答,我選擇   題.

A:①求線段AD的長;

②在y軸上,是否存在點P,使得APD為等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

B:①求線段DE的長;

②在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得以點A,P,C為頂點的三角形與ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2)若拋物線y=ax2+2ax﹣3a直觀三角形是直角三角形,求a的值;

(3)如圖,面積為12的矩形ABCO的對角線OBx軸的正半軸上,ACOB相交于點E,若ABE是拋物線y=ax2+bx+c直觀三角形,求此拋物線的解析式.

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(2)該公司經(jīng)預(yù)算決定購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過110萬元,你認(rèn)為該公司有哪幾種購買方案;

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