Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片．把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，折痕為AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；

（2）求BF的長；

（3）求折痕AF長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5cm；（3）5cm．

【解析】分析：（1）根據(jù)翻折變換的對稱性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；

（2）設(shè)BF為x，分別表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式進行計算即可；

（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．

詳解：（1）證明：∵把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，

∴AE=AB=10，AE2=102=100，

又∵AD2+DE2=82+62=100，

∴AD2+DE2=AE2，

∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）設(shè)BF=x，則EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，F(xiàn)C=BC-BF=8-x，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即42+（8-x）2=x2，

解得x=5，

故BF=5cm；

（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，

∵AB=10cm，BF=5cm，

∴AF==5cm．