Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A（0，8），OB=OA．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若OD=OB，點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第二象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，E為DF的中點(diǎn)，當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）將三角形CEF繞E旋轉(zhuǎn)180°，C點(diǎn)落在M處，若M恰好在該拋物線上，求出此時(shí)△CEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）E（﹣，）；（3）

【解析】分析：（1）根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（2）首先求出直線DC的解析式進(jìn)而表示出FP的長(zhǎng)，再表示出S△CEF，進(jìn)而得出E的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式得出m的值，即可得出答案．

詳解：（1）∵OA=8，

∴OB=OA=4，

∴B（4，0），

∵y=﹣x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（0，8），B（4，0），

∴，解得：，

∴二次函數(shù)表達(dá)式為：y=﹣x2﹣x+8；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2﹣x+8=0，

解得：x1=4，x2=﹣8，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣8，0），

∵D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4），

∴設(shè)CD的解析為：y=kx+d，

故，解得：，

故直線DC的解析為：y=x+4；

如圖1，過點(diǎn)F作y軸的平行線交DC于點(diǎn)P，

設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，﹣m2﹣m+8），則P點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，m+4），

則FP=﹣m2﹣m+4，

∴S△FCD=FPOC=×（﹣m2﹣m+4）×8

=﹣m2﹣6m+16，

∵E為FD中點(diǎn)，

∴S△CEF=×S△FCD=﹣m2﹣3m+8=﹣（m﹣3）2+，

當(dāng)m=﹣3時(shí)，S△CEF有最大值，

∴﹣m2﹣m+8=﹣×9+3+8=，

E點(diǎn)縱坐標(biāo)為：×（﹣4）+4=，

∴F（﹣3，），

∴E（﹣，）；

（3）如圖2，∵F點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，﹣m2﹣m+8），

C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣8，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4），

∴M（m+8，﹣m2﹣m+12），

又∵M點(diǎn)在拋物線上，

∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8=﹣m2﹣m+12，

解得：m=﹣7，

故S△CEF=﹣m2﹣3m+8=．