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【題目】如圖,已知一條直線過點(0,4),且與拋物線y=x2交于A,B兩點,其中點A的橫坐標是-2.

(1)求這條直線的解析式及點B的坐標;

(2)在x軸上是否存在點C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點C的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)過線段AB上一點P,作PM∥x軸,交拋物線于點M,點M在第一象限,點N(0,1),當點M的橫坐標為何值時,MN+3MP的長度最大?最大值是多少?

【答案】(1)y=x+4,B(8,16)(2)存在.點C的坐標為(-,0),(0,0),(6,0),(32,0)(3)18

【解析】試題分析:(1)首先求得點A的坐標,然后利用待定系數法確定直線的解析式,從而求得直線與拋物線的交點坐標;

2)如圖1,過點BBG∥x軸,過點AAG∥y軸,交點為G,然后分若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值,從而確定點C的坐標;

3)設Maa2),如圖2,設MPy軸交于點Q,首先在Rt△MQN中,由勾股定理得MN=a2+1,然后根據點P與點M縱坐標相同得到x=,從而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9,確定二次函數的最值即可.

試題解析:(1yx4,B(8,16) 

2)存在.

過點BBGx軸,過點AAGy軸,交點為G,

AG2BG2AB2,

A(2,1),B(816)可求得AB2325

.設點C(m,0)

同理可得AC2(m2)212m24m5,

BC2(m8)2162m216m320,

BAC90°,則AB2AC2BC2,即325m24m5m216m320,解得m=-;

ACB90°,則AB2AC2BC2,即325m24m5m216m320,解得m0m6

ABC90°,則AB2BC2AC2,即m24m5m216m320325,解得m32,

C的坐標為(0),(00),(6,0)(32,0) 

3)設M(a,a2),

MPy軸交于點Q,在RtMQN中,

由勾股定理得MN,

P與點M縱坐標相同,

x4a2

x= ,

P的橫坐標為

MPa,

MN3PMa213(a)=-a23a9=- (a6)218,

2≤6≤8,

a6時,取最大值18,

M的橫坐標為6時,MN+3PM的長度的最大值是18

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