【題目】如圖1,頂角為36°的等腰三角形稱為銳角黃金三角形.它的底與腰之比為≈0.618,記為k.受此啟發(fā),八年級數(shù)學課題組探究底角為36°的等腰三角形,也稱鈍角黃金三角形,如圖2

(1)在圖1和圖2中,若DE=BC,求證:EF=AB;

(2)求鈍角黃金三角形底與腰的比值(用含k的式子表示);

(3)如圖3,在鈍角黃金三角形ABC中,AD,DE依次分割出鈍角黃金三角形ADC,ADE.若AB1,記ABC,ADC,ADE分別為第1,23個鈍角黃金三角形,以此類推,求第2020個鈍角黃金三角形的周長(用含k的式子表示).

【答案】1)證明見解析;(2)鈍角黃金三角形底與腰的比值為;(3)第2020個鈍角黃金三角形的周長為:.

【解析】

1)如圖(見解析),作的角平分線BH,交AC于點H,通過三角形全等的判定定理證得,再根據(jù)三角形全等的性質即可得;

2)如圖(見解析),延長ED使得,連接GF,由k的定義知,再證是等腰三角形,則有,從而可得的值,即為所求;

3)根據(jù)相似三角形對應邊成比例,求出前幾個三角形的周長,進而找出規(guī)律,即可求出答案.

1)如圖,作的角平分線BH,交AC于點H

是等腰三角形,且頂角

是等腰三角形,且底角

中,

;

2)如圖,延長ED使得,連接GF

是等腰三角形,且

(等角對等邊)

故鈍角黃金三角形底與腰的比值為;

3)由題意得:

根據(jù)題(2)的結論可得:,解得

則第1個鈍角黃金三角形的周長為

中,

即第1個鈍角黃金三角形與第2個鈍角黃金三角形的對應邊成比例,比例為

則第2個鈍角黃金三角形的周長為:

同理可得:第3個鈍角黃金三角形的周長為:

依此類推,第2020個鈍角黃金三角形的周長為:.

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