Question

【題目】如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)并與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為直線上方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)的面積為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接，作軸于，連接、，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）R（3，3）；（3）1或．

【解析】

（1）求出A、B、C的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)R（t，）．作RK⊥y軸于K，RW⊥x軸于W，連接OR．

根據(jù)計(jì)算即可；

（3）在RH上截取RM=OA，連接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB于H．分兩種情況討論：①點(diǎn)E在F的左邊；②點(diǎn)E在F的右邊．

（1）當(dāng)x=0時(shí)y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3．

∵OC=3OA，

∴OA=1，

∴A（-1，0）．

當(dāng)y=0時(shí)x=4，

∴B（4，0）．

把A、B坐標(biāo)代入得解得：，

∴拋物線的解析式為．

（2）設(shè)R（t，）．

作RK⊥y軸于K，RW⊥x軸于W，連接OR．

∵

∵，

∴，（舍去），，

∴R（3，3）．

（3）在RH上截取RM=OA，連接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB于H．

分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在F的左邊時(shí)，如圖1．

∵CR=CO，∠CRM=∠COA，

∴△CRM≌△COA，

∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，

∴∠ACM=∠OCR=90°，

∴∠CAM=∠CMA=45°．

∵AC∥PE，

∴∠CAM=∠AGE=45°．

∵∠PEQ=45°，

∴∠AGE=∠PEQ，

∴AM∥EQ，

∴∠MAH=∠QEF．

∵∠QFE=∠MHA=90°，

∴△QEF∽△MAH，

∴．

∵OA=1，OH=3，MH=RH-RM=3-1=2，

∴AH=AO+OH=4，

∴EF=2QF．

設(shè)CP=m，

∴QH=CP=m．

∵OC=OH，

∴∠OHC=45°，

∴QF=FH=m，

∴EF=2m，

∴EH=3m．

∵ACPE為平行四邊形，

∴AE=CP=m．

∵EH=AH-AE=4-m，

∴3m=4-m，

∴m=1，

∴CP=1．

②當(dāng)點(diǎn)E在F的右邊時(shí)，設(shè)AM交QE于N．如圖2．

∵CR=CO，∠CRM=∠COA，

∴△CRM≌△COA，

∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，

∴∠ACM=∠OCR=90°，

∴∠CAM=∠CMA=45°．

∵AC∥PE，

∴∠CAM=∠AGE=45°．

∵∠PEQ=45°，

∴∠AGE=∠PEQ=45°，

∴∠ENG=∠ENA=90°．

∵∠EQF+∠QEF=90°，∠EAN+∠QEF=90°，

∴∠EQF=∠MAB．

∵∠QFE=∠AHM=90°，

∴△QEF∽△AMH，

∴，

∴QF=2EF．

設(shè)CP=m，

∴QH=CP=m．

∵OC=OH，

∴∠OHC=45°，

∴QF=FH=m，

∴EF=m，

∴EH=m．

∵ACPE為平行四邊形，

∴AE=CP=m．

∵EH=AH-AE=4-m，

∴4-m=m，

∴m=，

∴CP=．

綜上所述：CP的值為1或．