【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=1,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠COD=60°,點(diǎn)E是線段CD上一點(diǎn),連接OE,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OF,連接DF.
(1)求證:DF=CE;
(2)連接EF交OD于點(diǎn)P,求DP的最大值;
(3)如圖2,點(diǎn)E在射線CD上運(yùn)動(dòng),連接AF,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,若AF=AB,求OF的長.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)OF=1或.
【解析】
(1)證明△FOD≌△EOC(SAS),則可得出結(jié)論;
(2)證明△FDP∽△ODE,可得出,設(shè)DF=CE=x,則DE=1﹣x,則 ,得出DP=﹣x2+x=,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案;
(3)分情況討論:①如圖1,過點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M,證明△AOF是等邊三角形,得出OF=1;②過點(diǎn)A作AN⊥DF于點(diǎn)N,則∠FDA=30°,證明△OAF≌△AOD(SAS),得出OF=AD=.
(1)證明:由題意知∠FOE=∠DOC=60°,
∴∠FOE﹣∠DOE=∠DOC﹣∠DOE,即∠FOD=∠EOC,
在矩形ABCD中,AC=BD=2OC=2OD,
∴OC=OD,
又∵OF=OE,
∴△FOD≌△EOC(SAS),
∴DF=CE;
(2)解:在△ODC中,OD=OC,∠COD=60°,
∴△OCD是等邊三角形,∠OCD=60°,
又△FOD≌△EOC,
∴∠FDO=∠ECO=60°,
在△OEF中,OE=OF,∠EOF=60°,
∴△OEF是等邊三角形,∠OEF=60°,
∴180°﹣∠FDP﹣∠FPD=180°﹣∠OEP﹣∠OPE,即∠DFP=∠DOE,
又∠FDP=∠ODE=60°,
∴△FDP∽△ODE,
∴,
設(shè)DF=CE=x,則DE=1﹣x,
∴,
∴DP=﹣x2+x=,
∴DP的最大值為;
(3)解:①在矩形ABCD中,AB=1,∠COD=60°,
∴AD=,∠OAD=∠ODA=30°,
∴∠FDA=∠FDO﹣∠ODA=30°,
如圖1,過點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M,
設(shè)FM=m,則MD=m,AM=-m,
又∵AF=AB=1,
∴在Rt△AFM中,AM2+FM2=AF2,
∴,
∴m1=,m2=1(舍去),
∴sin∠FAM=,
∴∠FAM=30°,
∴∠FAO=60°,且AF=AB=AO,
∴△AOF是等邊三角形,
∴OF=1;
②如圖2,過點(diǎn)A作AN⊥DF于點(diǎn)N,則∠FDA=30°,
∴∠DAN=60°,AN= ,
∴cos∠FAN=,
∴∠FAN=30°,
∴∠FAO=120°,
又∠AOD=120°,
∴∠FAO=∠AOD,
又AF=AO=OD,
∴△OAF≌△AOD(SAS),
∴OF=AD=.
綜合以上可得,OF=1或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一天,小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場測量學(xué)校旗桿高度,他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°,然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°(身高忽略不計(jì)).已知斜坡CD坡度i=1:2.4,坡長為2.6米,旗桿AB所在旗臺(tái)高度EF為1.4米,旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場在同一水平面上.則請(qǐng)問旗桿自身高度AB為( 。┟祝
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線Cn:yn=x2+(n-1)x+2n (其中n為正整數(shù))與x軸交于An,Bn.兩點(diǎn)(點(diǎn)An在Bn的左邊)與y軸交于點(diǎn)Dn.
(1)填空:①當(dāng)n=1時(shí),點(diǎn)A1的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B1的坐標(biāo)為______;
②當(dāng)n=2時(shí),點(diǎn)A2的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B2的坐標(biāo)為______;
(2)猜想拋物線Cn是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn),若經(jīng)過請(qǐng)寫出該定點(diǎn)坐標(biāo)并給予證明:若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由;
(3)猜想的大小,并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在軸上有一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作平行于軸的直線,交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn),交直線于點(diǎn),連接.若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y1=2x與雙曲線y2=交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C,OC=2,延長AC至D,使CD=4AC,連接OD.
(1)求k的值;
(2)求∠AOD的大;
(3)直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某口罩加工廠有兩組工人共人,組工人每人每小時(shí)可加工口罩只,組工人每人每小時(shí)可加工口罩只,兩組工人每小時(shí)一共可加工口罩只.
(1)求兩組工人各多少人;
(2)由于疫情加重兩組工人均提高了工作效率,一名組工人和一名組工人每小時(shí)共可生產(chǎn)口罩只,若兩組工人每小時(shí)至少加工只口罩,那么組工人每人每小時(shí)至少加工多少只口罩?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,分別過點(diǎn)C. D作CE∥BD,DE∥AC,CE和DE交于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形ODEC是矩形;
(2)當(dāng)∠ADB=60°,AD=2時(shí),求EA的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為1,∠CBD=30°,則圖中陰影部分的面積;
(3)過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E若BC=12,tan∠CDA=,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的盒子里裝有3個(gè)分別寫有數(shù)字﹣2,0,1的小球,它們除了數(shù)字不同以外其余完全相同,先從盒子里隨機(jī)抽取1個(gè)小球,再從剩下的小球中抽取1個(gè),將這兩個(gè)小球上的數(shù)字依次記為a,b,則滿足關(guān)于x的方程x2+ax+b=0有實(shí)數(shù)根的概率為_____.
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