【題目】請閱讀下列材料,并完成相應的任務.
人類會作圓并且真正了解圓的性質是在2000多年前,由我國的墨子給出圓的概念:“一中同長也.”.意思說,圓有一個圓心,圓心到圓周的長都相等.這個定義比希臘數(shù)學家歐幾里得給圓下的定義要早100年.與圓有關的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.
我們把頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù).
下面是弦切角定理的部分證明過程:
證明:如圖①,AB與⊙O相切于點A.當圓心O在弦AC上時,容易得到∠CAB=90°,所以弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾半圓所對的圓周角度數(shù).
如圖②,AB與⊙O相切于點A,當圓心O在∠BAC的內部時,過點A作直徑AD交⊙O于點D,在上任取一點E,連接EC,ED,EA,則∠CED=∠CAD.
…
任務:
(1)請按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;
(2)如圖③,AB與⊙O相切于點A.當圓心O在∠BAC的外部時,請寫出弦切角定理的證明過程.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析
【解析】
(1)利用圓周角定理得到∠DEA=90°,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠CED=∠CAD,最后利用等式的性質即可得到∠CEA=∠CAB;
(2)通過∠C=90°說明∠CFA+∠FAC=90°,再根據(jù)同角的余角相等得到∠CAB=∠CFA即可.
解:(1)∵AD是⊙O直徑,
∴∠DEA=90°.
∵AB與⊙O相切于點A,
∴∠DAB=90°.
∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB,即∠CEA=∠CAB.
∴弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù);
(2)證明:如圖,過點A作直徑AF交⊙O于點F,連接FC.
∵AF是直徑,
∴∠ACF=90°.
∴∠CFA+∠FAC=90°.
∵AB與⊙O相切于點A,
∴∠FAB=90°.
∴∠CAB+∠FAC=90°.
∴∠CAB=∠CFA,
即弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,點D為BC邊上的一個動點(點D不與點B、點C重合).以D為頂點作∠ADE=∠B,射線DE交AC邊于點E,過點A作AF⊥AD交射線DE于點F.
(1)求證:ABCE=BDCD;
(2)當DF平分∠ADC時,求AE的長;
(3)當△AEF是等腰三角形時,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綿陽某公司銷售統(tǒng)計了每個銷售員在某月的銷售額,繪制了如下折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖:
設銷售員的月銷售額為x(單位:萬元)。銷售部規(guī)定:當x<16時,為“不稱職”,當 時為“基本稱職”,當 時為“稱職”,當 時為“優(yōu)秀”.根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)補全折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)求所有“稱職”和“優(yōu)秀”的銷售員銷售額的中位數(shù)和眾數(shù);
(3)為了調動銷售員的積極性,銷售部決定制定一個月銷售額獎勵標準,凡月銷售額達到或超過這個標準的銷售員將獲得獎勵。如果要使得所有“稱職”和“優(yōu)秀”的銷售員的一半人員能獲獎,月銷售額獎勵標準應定為多少萬元(結果去整數(shù))?并簡述其理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個轉盤被分成等分,每一份上各寫有一個數(shù)字,隨機轉動轉盤次,第一次轉到的數(shù)字數(shù)字為十位數(shù)字,第二次轉到的數(shù)字為個位數(shù)字,次轉動后組成一個兩位數(shù)(若指針停在等分線上則重新轉一次)
用畫樹狀圖的方法求出轉動后所有可能出現(xiàn)的兩位數(shù)的個數(shù).
甲、乙兩人做游戲,約定得到的兩位數(shù)是偶數(shù)時甲勝,否則乙勝,這個游戲公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A是直線AM與⊙O的交點,點B在⊙O上,BD⊥AM,垂足為D,BD與⊙O交于點C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求證:AM是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為4,求圖中陰影部分的面積(結果保留π和根號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店購進某種茶壺、茶杯共200個進行銷售,其中茶杯的數(shù)量是茶壺數(shù)量的5倍還多20個.銷售方式有兩種:(1)單個銷售;(2)成套銷售.相關信息如下表:
進價(元/個) | 單個售價(元/個) | 成套售價(元/套) | |
茶壺 | 24 | a | 55 |
茶杯 | 4 | a﹣30 | |
備注:(1)一個茶壺和和四個茶杯配成一套(如圖); (2)利潤=(售價﹣進價)×數(shù)量 |
(1)該商店購進茶壺和茶杯各有多少個?
(2)已知甲顧客花180元購買的茶壺數(shù)量與乙顧客花30元購買的茶杯數(shù)量相同.
①求表中a的值.
②當該商店還剩下20個茶壺和100個茶杯時,商店將這些茶壺和茶杯中的一部分按成套銷售,其余按單個銷售,這120個茶壺和茶杯全部售出后所得的利潤為365元.問成套銷售了多少套?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,將正方形ABCD按圖1所示置于平面直角坐標系中,AD邊與x軸重合,頂點B,C位于x軸上方,將直線l:y=x﹣3沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度平移,在平移的過程中,該直線被正方形ABCD的邊所截得的線段長為m,平移的時間為t秒,m與t的函數(shù)圖象如圖2所示,則a,b的值分別是( 。
A.6,B.6,C.7,7D.7,5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O為所在圓的圓心,∠AOB=90°,點P在上運動(不與點A,B重合),AP交OB延長線于點C,CD⊥OP于點D.若OB=2BC=2,則PD的長是( )
A.B.C.D.
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