【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線AC-CB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.當(dāng)點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合時(shí),過(guò)點(diǎn)P作其所在直角邊的垂線交AB 于點(diǎn)Q,再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR,且點(diǎn)R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側(cè),設(shè)△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位).點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)求點(diǎn)P在AC邊上時(shí)PQ的長(zhǎng),(用含t的代數(shù)式表示);
(2)求點(diǎn)R到AC、PQ所在直線的距離相等時(shí)t的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫出點(diǎn)R落在△ABC高線上時(shí)t的值.
【答案】
(1)解:如圖①,
由題意可知AP=4t,
tanA= ,
∴PQ=3t;
(2)解:①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí),如圖①.
∵∠RPQ=45°,∠CPQ=90°,
∴∠CPR=45°=∠RPQ,
∴點(diǎn)R到直線AC、PQ距離相等,
此時(shí)0<t<1.
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H,如圖②,
則有PC=4t-4,PB=7-4t,
∵tanB= ,
∴PQ= PB= (7-4t).
由題可得:RH= PC.
∵RH= PQ,
∴PC=PQ,
∴4t-4= (7-4t),
解得:t= .
綜上所述:0<t<1或t= ;
(3)解:①當(dāng)0<t≤ 時(shí),如圖①.
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H,
S= PQRH= ×3t× = t2.
②當(dāng) <t<1時(shí),如圖③.
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,
則有RG⊥MN,RH= PQ= t,GH=PC=4-4t,
∴S=S△RPQ-S△RMN= PQRH- MNRH
=RH2RG2=( t)2-[ t-(4-4t)]2
=-28t2+44t-16;
(4)解:點(diǎn)R落在△ABC高線上時(shí),t的值為 , , , .
可分以下幾種情況討論:如圖④~⑦
①點(diǎn)P在AC上,且點(diǎn)R在AB的高CH上,如圖④,
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CH于G,
易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.
易求得AB=5,CH= ,AH= ,BH= .
PC=4-4t,CG= PC= (4-4t),PG= PC= (4-4t),
AQ= AP=5t,QH=AH-AQ= -5t.
根據(jù)CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG= ,得
(4-4t)+ -5t+ (4-4t)= ,
解得:t= .
②點(diǎn)P在AC上,且點(diǎn)R在AC的高BC上,如圖⑤
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于H,
易得PQ=2RH=2PC,PQ= AP=3t,PC=4-4t,
∴3t=2(4-4t),
解得:t= .
③點(diǎn)P在BC上,且點(diǎn)R在BC的高AC上,如圖⑥,
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PQ于H,
易得PQ=2RH=2PC,PQ= PB= (7-4t),PC=4t-4,
∴ (7-4t)=2(4t-4),
解得:t= .
④點(diǎn)P在BC上,且點(diǎn)R在AB的高CH上,如圖⑦,
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CH于G,
易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.
易證△CGP∽△CHB,
∴ .
∵BC=3,CH= ,BH= ,CP=4t-4,
∴CG= PC= (4t-4),PG= PC= (4t-4),
同理可得QB= PB= (7-4t),QH=QB-BH= (7-4t)- .
根據(jù)CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH= ,得
(4t-4)+ (4t-4)-[ (7-4t)- ]= ,
解得:t= .
【解析】(1)根據(jù)題意求出tanA的值,得到點(diǎn)P在AC邊上時(shí)PQ的長(zhǎng);(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上時(shí),得到點(diǎn)R到直線AC、PQ距離相等,此時(shí)0<t<1;②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),由tanB的值求出PQ的代數(shù)式,點(diǎn)R到AC、PQ所在直線的距離相等時(shí)t的取值范圍;(3)根據(jù)三角形的面積公式得到點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(4)①點(diǎn)P在AC上,且點(diǎn)R在AB的高CH上,得到△PGR≌△RHQ,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,得到PG=RH,GR=QH;求出t的值;②點(diǎn)P在AC上,且點(diǎn)R在AC的高BC上時(shí),求出t的值;③點(diǎn)P在BC上,且點(diǎn)R在BC的高AC上時(shí),直接求出t的值;④點(diǎn)P在BC上,且點(diǎn)R在AB的高CH上時(shí),得到△CGP∽△CHB,得到比例,求出t的值;此題是綜合題,難度較大,計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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【題目】已知A、B兩地相距4千米.上午8:00,甲從A地出發(fā)步行到B地,8:20乙從B地出發(fā)騎自行車到A地,甲、乙兩人離A地的距離(千米)與甲所用的時(shí)間(分)之間的關(guān)系如圖所示.由圖中的信息可知,乙到達(dá)A地的時(shí)間為____.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°.
(1)用圓規(guī)和直尺在AC上作點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A、B的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)當(dāng)滿足(1)的點(diǎn)P到AB、BC的距離相等時(shí),求∠A的度數(shù).
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【題目】二次函數(shù) 的圖象如圖所示,反比例函數(shù) 與正比例函數(shù) 在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖①,在邊長(zhǎng)為4cm正方形 ABCD 中,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB→BC的路徑勻速運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)C停止.過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD,PQ與邊AD(或邊CD)交于點(diǎn)Q,PQ的長(zhǎng)度y(cm)與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)圖象如圖②所示.當(dāng)P運(yùn)動(dòng)2.5s時(shí),PQ的長(zhǎng)為( )
A.cmB.cmC.cmD.cm
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(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
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