【題目】如圖,PB為O的切線,B為切點,直線PO交于點E、F,過點B作PO的垂線BA,垂足為點D,交O于點A,延長AO與O交于點C,連接BC,AF.

(1)求證:直線PA為O的切線;

(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

(3)若BC=6,tanF=,求cosACB的值和線段PE的長.

【答案】(1)證明見解析(2)EF2=4ODOP,證明見解析(3),

【解析】解:(1)連接OB,

PB是O的切線,∴∠PBO=90°。

OA=OB,BAPO于D,

AD=BD,POA=POB。

PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴∠PAO=PBO=90°。直線PA為O的切線。

(2)EF2=4ODOP。證明如下:

∵∠PAO=PDA=90°,∴∠OAD+AOD=90°,OPA+AOP=90°。

∴∠OAD=OPA。∴△OAD∽△OPA,,即OA2=ODOP。

EF=2OA,EF2=4ODOP。

(3)OA=OC,AD=BD,BC=6,OD=BC=3(三角形中位線定理)。

設(shè)AD=x,

tanF=FD=2x,OA=OF=2x﹣3。

在RtAOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,

解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去)。AD=4,OA=2x﹣3=5。

AC是O直徑,∴∠ABC=90°。

AC=2OA=10,BC=6,cosACB=

OA2=ODOP,3(PE+5)=25PE=。

(1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識,得出OA=OB,POA=POB,而證明PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論。

(2)先證明OAD∽△OPA,相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可

(3)根據(jù)題意可確定OD是ABC的中位線,設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA,在RtAOD中,勾股定理解出x的值,而能求出cosACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長。 

練習冊系列答案
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