【題目】定義:有一組對角互補的凸四邊形叫做“對補四邊形”,性質(zhì):“對補四邊形”一定是圓內(nèi)接四邊形.
(1)概念理解:請你根據(jù)上述描述定義舉一個“對補四邊形”的例子;
(2)問題探究:如圖1,在對補四邊形ABCD中,如果∠A=∠C,試探究AB、AD、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)應用拓展:如圖2,在四邊形ABCD中,AB≠BC,∠A=∠C=90°,連接BD,將△BCD沿BD折疊,得到△BFD.
①連接AF,四邊形ABDF是對補四邊形嗎?請說明理由;
②若AB=1,BD=2,且BF把△ABD分成兩個三角形的面積比為1:2,請求出CD的長.
【答案】
(1)解:矩形是“對補四邊形”
(2)解:AB2+AD2=BC2+CD2;理由如下:
連接BD,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是“對補四邊形”,
∴∠A=+∠C=90°,
∵∠A=∠C,
∴∠A=∠C=90°,
∴AB2+AD2=BD2,BC2+CD2=BD2,
∴AB2+AD2=BC2+CD2
(3)解:①四邊形ABDF是對補四邊形,理由如下:
∵∠BAD=∠C=90°,
∴∠BAD+∠C=180°,
∴A、B、C、D四點共圓,
由折疊的性質(zhì)得:∠BFD=∠BAD=90°,
∴點F在A、B、C、D四點共圓的這個圓上,
∴∠BAF+∠BDF=180°,
∴四邊形ABDF是對補四邊形;
②∵AB=1,BD=2,∠BAD=90°,
∴sin∠ADB= = ,AD= = ,
∴∠ADB=30°,
∴∠ABD=60°,
設AD與BF交于點P,作PM⊥BD于M,如圖2所示:
∵BF把△ABD分成兩個三角形的面積比為1:2,
∴AP:PD=1:2,或PD:AP=1:2,
,當AP:PD=1:2時,AP= AD= ,PD= AD= ,
∴∠ADB=30°,
∴PM= PD= =PA,
∴∠ABP=∠DBP= ∠ABD=30°,
∵∠BFD=90°,
∴DF= BD=1,
∴CD=DF=1;
當PD:AP=1:2時,PD= AD= ,AP= AD= ,
∴BP= = ,
∵∠BAD=∠BFD=90°,∠APB=∠FPD,
∴△ABP∽△FDP,
∴ ,即 ,
解得:FD= ,
∴CD=FD= ;
綜上所述:CD的長為1或 .
【解析】(1)由矩形的性質(zhì)容易得出矩形是“對補四邊形”
(2)連接BD,由“對補四邊形”的定義得出∠A=+∠C=90°,由已知得出∠A=∠C=90°,由勾股定理得出AB2+AD2=BD2,BC2+CD2=BD2,即可得出結(jié)論;
(3)①證明A、B、C、D四點共圓,由折疊的性質(zhì)得:∠BFD=∠BAD=90°,證出點F在A、B、C、D四點共圓的這個圓上,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BAF+∠BDF=180°,即可得出結(jié)論;②由三角函數(shù)得出sin∠ADB= = ,由勾股定理求出AD= = ,得出∠ADB=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出∠ABD=60°,設AD與BF交于點P,作PM⊥BD于M,由已知得出AP:PD=1:2,或PD:AP=1:2,分別求出DF的長,即可得出CD的長.
【考點精析】認真審題,首先需要了解相似三角形的應用(測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市為提倡節(jié)約用水,準備實行自來水“階梯計費”方式,用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本價格,超出基本用水量的部分實行加價收費,為更好地做決策,自來水公司隨機抽取部分用戶的用水量數(shù)據(jù),并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖(每組數(shù)據(jù)包括右端點但不包括左端點),請你根據(jù)統(tǒng)計圖解決下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 .
(2)補全頻數(shù)分布直方圖.
(3)如果自來水公司將基本用水量定為每戶25噸,那么該地區(qū)6萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價格?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于點E,點F是BC的中點.
(1)如圖1,BE的延長線與AC邊相交于點D,求證:EF=(AC﹣AB);
(2)如圖2,請直接寫出線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,ABCD 中,∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點E、F.
(1)求證:四邊形EBFD是平行四邊形;
(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進行了探索.連接AF、CE,分別交BE、FD于點G、H,得到四邊形EGFH.此時,他猜想四邊形EGFH是平行四邊形,請在框圖(圖2)中補全他的證明思路.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將點A先向右平移3個單位長度,在向下平移5個單位長度,得到A’;將點B先向下平移5個單位長度,再向右平移4個單位長度,得到B’,則A’與B’相距( )
A. 4個單位長度 B. 5個單位長度 C. 6個單位長度 D. 7個單位長度
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,過原點O的直線與雙曲線y= 交于A、B兩點,過點B作BC⊥x軸,垂足為C,連接AC,若S△ABC=5,則k的值是( )
A.
B.
C.5
D.10
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,三角形ABC的三個頂點的位置如圖所示,點A/的坐標是(—2,2),現(xiàn)將三角形ABC平移,使點A平移到A/,點B/、C/分別是B、C的對應點.
(1)請畫出平移后的三角形A/B/C/,并直接寫出點B/、C/的坐標;
(2)若三角形ABC內(nèi)部一點P的坐標為(a,b),則點P的對應點P/的坐標是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCF中,∠ACB=90°,點E是AB邊的中點,點F恰是點E關(guān)于AC所在直線的對稱點.
(1)證明:四邊形CFAE為菱形;
(2)連接EF交AC于點O,若BC=10,求線段OF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系中,點A、B的坐標分別為(1,5)和(4,0),點C是y軸上的一個動點,且A、B、C三點不再同一條直線上,當△ABC的周長最小時,點C的坐標是( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (0,3) D. (0,4)
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