Question

【題目】定義：有三條邊相等的四邊形稱為三等邊四邊形．

（1）如圖①，平行四邊形中，對角線平分，將線段繞點旋轉(zhuǎn)一個角度至，連接．

①求證：四邊形是三等邊四邊形；

②如圖②，連接，．求證：；

（2）如圖，在（1）的條件下，設與交于點，，，，求以，和為邊的三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）

【解析】

（1）①先證明四邊形是菱形，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，問題得證；

②如圖②，延長至點，得到，得到，根據(jù)菱形性質(zhì)得到，問題得證；

（2）如圖③，連接，，與交于點，過點作于點，先求出長度，判斷以為邊的三角形為直角三角形，計算面積即可．

解：（1）①證明：如圖①，∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

∵半分，

∴，

∴，

∴，

∴平行四邊形是菱形，

∴．

∵，

∴，

∴四邊形是三等邊四邊形．

②證明：如圖②，延長至點，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∵四邊形是菱形，

∴，

∴．

（2）如圖③，連接，，與交于點，過點作于點，

∵四邊形是菱形，∴，，，．

在中，，，

∴，

∴，，

∴．

∵，∴，∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴．

在中，，

∴，即，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

．

∵垂直平分，∴，

∴，

∴，

∴以為邊的三角形為．